Análise real/Subconjunto

Quando um conjunto ${\displaystyle Y\;}$ é parte de uma certa coleção ${\displaystyle X\;}$ dizemos que Y é subconjunto de X e escrevemos ${\displaystyle Y\subset X}$.

• Ex: ${\displaystyle X=\{x\in \mathbb {R} ;\;x>2\},Y=\{y\in \mathbb {R} ;\;4<y<10\}}$. Como ${\displaystyle X=(2,\infty ),Y=(4,10),(4,10)\subset (2,\infty ){\mbox{ logo }}Y\subset X}$, isto é, todo elemento que pertence a ${\displaystyle Y\;}$, pertence a ${\displaystyle X\;}$, por isso dizemos que ${\displaystyle Y\;}$ é subconjunto de ${\displaystyle X\;}$.
• Mais formalmente, se ${\displaystyle y\in Y,Y\subset X\Rightarrow y\in X}$, também ${\displaystyle Y\subset X\Leftrightarrow X\supset Y}$

Consideremos os seguintes conjuntos ${\displaystyle A=\{2n;n\in \mathbb {N} \},B=\{4n;n\in \mathbb {N} \}.}$

• Provaremos que ${\displaystyle B\subset A.}$ De fato, seja ${\displaystyle x\in B,}$ então ${\displaystyle x=4n{\mbox{ para algum }}n\in \mathbb {N} }$, sendo que pode ser escrito na forma ${\displaystyle x=2(2n)=2m}$, onde claramente ${\displaystyle m=2n\in \mathbb {N} }$, logo ${\displaystyle x\in A}$
• Agora vejamos que ${\displaystyle \exists x\in A{\mbox{ tal que }}x\in B;{\mbox{ tomamos }}x=2=2(1)\in A}$ provaremos que este não pertence a B. Assim usando o argumento do absurdo (ou contradição), isto é, suponhamos que ${\displaystyle x=2\in B}$ então existe ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ tal que ${\displaystyle 2=4n}$, porém esta igualdade somente é satisfeita se n for o número racional ${\displaystyle n=1/2}$ o qual não pertence a ${\displaystyle \mathbb {N} }$, fato que nos fornece uma contradição. Portanto ${\displaystyle A\subset B.}$

${\displaystyle Y\subset X}$ significa que todos os elementos de ${\displaystyle Y\;}$ estão em ${\displaystyle X\;}$.

${\displaystyle Y\subset X}$ lê-se ${\displaystyle Y\;}$ está contido em ${\displaystyle X\;}$.

Podemos definir ${\displaystyle Y\subset X}$ como ${\displaystyle Y=\{a;a\in X\;e\;a\;satisfaz\;a\;propriedade\;P_{1}\}}$, considerando que ${\displaystyle P_{1}\;}$ não é uma das propriedades que definem os elementos de X.

${\displaystyle Y\;}$ é subconjunto próprio de ${\displaystyle X\Leftrightarrow Y\neq X}$ e ${\displaystyle Y\subset X,mas\;X\not \subset Y}$.

• O ${\displaystyle \varnothing \subset X}$, isto é, o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.

Para mostrar que X não seja subconjunto de Y, isto é, ${\displaystyle X\not \subset Y\;}$, basta exibir um ${\displaystyle x\in X\;}$ e provar que ${\displaystyle x\not \in Y}$.

• Exemplo: X é o conjunto dos naturais e Y é o conjunto dos naturais impares. Vamos mostrar que ${\displaystyle X\not \subset Y\;}$. Segue que ${\displaystyle 2\in X\;}$, mas ${\displaystyle 2\not \in Y\;}$. Logo ${\displaystyle X\not \subset Y\;}$.