Análise real/Sequências

Uma sequência de números reais é uma função ${\displaystyle s:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R} }$ que associa cada número natural a um número real. A notação usual para representar uma sequência é ${\displaystyle (s_{n})_{n\in \mathbb {N} },}$ quando não houver ambiguidade também pode-se escrever apenas ${\displaystyle (s_{n}).}$ Para se referir a um termo específico da sequência, a notação é ${\displaystyle s_{n},}$ ao invés de s(n). Uma outra forma muito comum de dar exemplos de sequências é listando os primeiros elementos (como um conjunto), seguido de "...", de forma que a regra de formação seja óbvia. Vamos observar que em todo livro estaremos considerando que o conjunto dos naturais ${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,3,\ldots \}}$.

Exemplos:

• A sequência dos números naturais ${\displaystyle s:\mathbb {N} \rightarrow R}$ dada por ${\displaystyle s_{n}=n,\forall n\in \mathbb {N} }$ ou mais simplesmente ${\displaystyle (n)_{n\in \mathbb {N} }.}$
• A sequência de fibonacci ${\displaystyle s_{1}=1,s_{2}=1,s_{n}=s_{n-1}+s_{n-2},\forall \;n\in \mathbb {N} ,}$ com ${\displaystyle n\geq 2.}$
• ${\displaystyle s_{n}={1 \over n},\forall n\in \mathbb {N} ,}$ com ${\displaystyle n\geq 1,}$ ou mais simplesmente ${\displaystyle ({1 \over n})_{n\in \mathbb {N} }.}$
• A sequência ${\displaystyle \{1,{1 \over 4},{1 \over 9},{1 \over 16},...\}}$ é uma forma de representar ${\displaystyle s_{1}={1 \over 1^{2}},s_{2}={1 \over 2^{2}},s_{3}={1 \over 3^{2}},s_{4}={1 \over 4^{2}},\ldots \,}$ ou seja, ${\displaystyle s_{n}={1 \over n^{2}}}$

Faremos o uso da equivalência de ponto em um intervalo.

Algumas propriedades das sequências são tão importantes que elas recebem nomes especiais. Uma sequência ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ é dita:

1. estritamente crescente se ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :a_{n}<a_{n+1};}$
2. não-decrescente se ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :a_{n}\leq a_{n+1};}$
3. estritamente decrescente se ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :a_{n}>a_{n+1};}$
4. não-crescente se ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :a_{n}\geq a_{n+1};}$
5. monótona se a sequência satisfaz alguma das propriedades acima (i.é. se ela é não-decrescente ou não-crescente);
6. estritamente monótona se ela é ou estritamente crescente ou estritamente decrescente;
7. limitada superiormente se existe ${\displaystyle M\in \mathbb {R} }$ tal que ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :a_{n}\leq M;}$
8. limitada inferiormente se existe ${\displaystyle m\in \mathbb {R} }$ tal que ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :a_{n}\geq m;}$
9. limitada se ela é limitada superior e inferiormente, ou seja, se ${\displaystyle \exists M,m\in \mathbb {R} }$ tal que ${\displaystyle m\leq a_{n}\leq M;}$
10. ilimitada quando ela não é limitada nem superior e nem inferiormente;
11. Cauchy se ${\displaystyle \forall \epsilon >0,\exists n_{0}\ |\ \forall n,m>n_{0}\ \Rightarrow |a_{m}-a_{n}|<\epsilon ;}$

Dizemos que uma sequência ${\displaystyle (a_{n})\;}$ converge para o número real ${\displaystyle a\;}$ quando, qualquer que seja ${\displaystyle \epsilon >0\;}$ dado, ${\displaystyle \exists n_{0}\in \mathbb {N} }$ tal que, se ${\displaystyle n>n_{0}\;,}$ então ${\displaystyle |a_{n}-a|<\epsilon \;.}$ Para dizer que ${\displaystyle (a_{n})\;}$ converge para ${\displaystyle a\;,}$ normalmente escrevemos ${\displaystyle (a_{n})\rightarrow a,}$ ou ${\displaystyle \textstyle \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=a}$ ou apenas ${\displaystyle \lim a_{n}=a,}$ quando não houver dúvida que o limite trata de ${\displaystyle n}$ tendendo ao infinito. Em outras palavras, a sequência ${\displaystyle (a_{n})\;}$ fica arbitrariamente próxima de ${\displaystyle a\;}$ desde que se tome um ${\displaystyle n\;}$ suficientemente grande.

Exemplos

• A sequência ${\displaystyle (1/n)_{n\in \mathbb {N} }}$ converge para ${\displaystyle 0.}$ De fato, dado ${\displaystyle \epsilon >0,}$ pela propriedade arquimediana da reta real, existe ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$ tal que ${\displaystyle n_{0}>{\frac {1}{\epsilon }}\;,}$ portanto ${\displaystyle -\epsilon <0<1/n_{0}<\epsilon \;.}$ Logo ${\displaystyle |1/n_{0}-0|<\epsilon \;}$ e concluimos que ${\displaystyle (1/n)\rightarrow 0\;.}$

Uma sequência que não é convergente é dita divergente. A divergência geralmente ocorre por dois motivos: A sequência não é limitada ou possui duas subsequências convergindo para valores diferentes.

Uma pergunta muito natural de se fazer: a definição de convergência é precisa? Intuitivamente sabemos o que significa uma sequência convergir para um número, mas agora precisamos saber se a definição formal não permite que exista mais de um limite. Ou seja, queremos provar que, se uma sequência converge, então o limite é único.

• Seja ${\displaystyle (x_{n})}$ uma sequência de números reais convergente com ${\displaystyle x=\lim x_{n}.}$ Suponha que ${\displaystyle y\in R}$ seja tal que ${\displaystyle y=\lim x_{n},}$ queremos mostrar que ${\displaystyle x=y}$.
• Suponha, por absurdo, que ${\displaystyle x\not =y,}$ então ${\displaystyle |x-y|>0}$. Tomemos então ${\displaystyle \epsilon ={|x-y| \over 2}}$.(3)
• Por um lado, ${\displaystyle (x_{n})\rightarrow x,}$ assim ${\displaystyle \forall \;\epsilon >0,\exists \;n_{1}\in \mathbb {N} }$ tal que ${\displaystyle n>n_{1}\Rightarrow |x_{n}-x|<\epsilon }$.(4)
• Por outro lado ${\displaystyle (x_{n})\rightarrow y,}$ logo ${\displaystyle \forall \;\epsilon >0,\exists \;n_{2}\in \mathbb {N} }$ tal que ${\displaystyle n>n_{2}\Rightarrow |x_{n}-y|<\epsilon }$.(5)
• Tome ${\displaystyle n_{0}=max\{n_{1},n_{2}\}}$ para garantir que os termos da sequência satisfaçam a convergência tanto para x, como para y. Assim ${\displaystyle n>n_{0}\Rightarrow \forall \;n\in \mathbb {N} ,n>n_{1}\;e\;n>n_{2}\Rightarrow _{(4),(5)}|x_{n}-x|,|x_{n}-y|<\epsilon }$ (2)
• Contudo ${\displaystyle |x-y|=|x-x_{n}+x_{n}-y|\leq _{(1)}|x-x_{n}|+|x_{n}-y|<_{(2)}\epsilon +\epsilon =2\epsilon =_{(3)}|x-y|}$.
  • (1) pela desigualdade triangular
• Mas é um absurdo concluir que ${\displaystyle |x-y|<|x-y|}$. Portanto foi um absurdo ter suposto que ${\displaystyle x\neq y}$. Então podemos concluir que x=y.

Essa proposição nos diz que se uma sequência converge para um limite a, então dados b e c reais, tais que b<a<c então a partir de um certo termo da sequência ${\displaystyle n_{0}}$ todos os termos estarão no intervalo (b,c).

Seja ${\displaystyle a=\lim a_{n},b\in \mathbb {R} }$, logo:

• Se ${\displaystyle a<b}$ ( resp. ${\displaystyle a>b}$ ), então existe ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$ tal que ${\displaystyle n>n_{0}\Rightarrow a_{n}<b\;(resp.a_{n}>b)}$.
• Se ${\displaystyle a_{n}\geq b\;(resp.a_{n}\leq b),\forall \;n\in \mathbb {N} }$, então ${\displaystyle a\geq b\;(resp.a\leq b)}$.

• Tome ${\displaystyle a<b(\Rightarrow b-a>0)\;e\;\epsilon =b-a}$(1), logo ${\displaystyle \exists \;n_{0}\in \mathbb {N} }$ tal que ${\displaystyle n>n_{0}\Rightarrow |a_{n}-a|<\epsilon \Rightarrow _{(1)}-(b-a)<a_{n}-a<b-a\Rightarrow a_{n}<b,\forall \;n\in \mathbb {N} }$.
• O segundo resultado resulta da contraposição do primeiro.

Toda sequência convergente é limitada.

Seja ${\displaystyle \lim \;a_{n}=a}$, assim para ${\displaystyle \epsilon =1,\exists \;n_{0}\in \mathbb {N} }$ tal que ${\displaystyle n>n_{0}\Rightarrow |a_{n}-a|<1.}$ Além disso, o conjunto ${\displaystyle X=\{a_{0},a_{1},...,a_{n_{0}},a-1,a+1\}}$ é finito, não-vazio e limitado, então existe ${\displaystyle A=\min X\;}$ e ${\displaystyle B=\max X\;,}$. Tome ${\displaystyle L=\max\{|A|,|B|,\}\Rightarrow -L<A<B<L}$. Como temos que ${\displaystyle A\leq x_{n}\leq B\Rightarrow -L\leq x_{n}\leq L\Rightarrow |x_{n}|\leq L}$ para todo ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$

Dadas duas sequências ${\displaystyle (a_{n})\;}$ e ${\displaystyle (b_{n})\;}$ convergentes, com ${\displaystyle a=\lim a_{n}}$ e ${\displaystyle b=\lim b_{n}}$ e um número real ${\displaystyle \lambda \;,}$ então valem as seguintes propriedades:

• ${\displaystyle (a_{n}+b_{n})\rightarrow a+b;}$
• ${\displaystyle (a_{n}b_{n})\rightarrow ab;}$
• ${\displaystyle (\lambda a_{n})\rightarrow \lambda a;}$

Se ${\displaystyle b_{n}\not =0,\forall n\in \mathbb {N} ,}$ e ${\displaystyle b\not =0,}$ então:

• ${\displaystyle \left({\frac {a_{n}}{b_{n}}}\right)\rightarrow {\frac {a}{b}}.}$

Vamos demonstrar a primeira das propriedades. Dado ${\displaystyle \epsilon >0\;,}$ existem ${\displaystyle n_{a},n_{b}\;}$ naturais tais que, se ${\displaystyle n>n_{a},n_{b}\;}$ então ${\displaystyle |a_{n}-a|<{\frac {\epsilon }{2}}}$ e ${\displaystyle |b_{n}-b|<{\frac {\epsilon }{2}}.}$

Portanto, se ${\displaystyle n_{0}=max\{n_{a},n_{b}\}\;}$ e ${\displaystyle n>n_{0}\;,}$ então ${\displaystyle |(a_{n}+b_{n})-(a+b)|=|(a_{n}-a)+(b_{n}-b)|\leq |a_{n}-a|+|b_{n}-b|<{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon .}$ Logo ${\displaystyle (a_{n}+b_{n})\rightarrow a+b.}$

As outras propriedades ficam de exercício para o leitor.

Se ${\displaystyle a_{n}\rightarrow 0,b_{n}\;{\text{é limitada}},}$ então ${\displaystyle a_{n}\cdot b_{n}\rightarrow 0;}$

Como b_n é uma sequência limitada, temos que existe B > 0 tal que |b_n| < B para todo n.

Então, dado ε > 0, temos que ${\displaystyle {\frac {\epsilon }{B}}>0\,.}$ Como a_n é uma sequência que converge para 0, existe n₀ tal que, para todo n > n₀, |a_n - 0| < ε / B.

Finalmente, fazendo as contas, temos que |a_n b_n - 0| < |a_n| |b_n| < (ε / B) . B = ε.

Ou seja, para todo ε > 0, encontramos n₀ tal que para todo n > n₀, |a_n b_n - 0| < ε - precisamente a definição de limite.

Toda sequência de números reais monótona limitada converge.

Vamos demonstrar que toda sequência não-decrescente, limitada superiormente, é convergente. Fica como exercício para o leitor adaptar a demonstração para outros tipos de sequências monótonas.

Seja ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ uma sequência não-decrescente limitada superiormente. Isto é, ${\displaystyle a_{n}\leq a_{m}}$ se ${\displaystyle n<m\;}$ e existe ${\displaystyle M\in \mathbb {R} }$ tal que ${\displaystyle a_{n}<M\;,}$ para todo ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$ Desta forma, o conjunto ${\displaystyle A=\{a_{n}:n\in \mathbb {N} \}}$ é um conjunto de número reais, não vazio e limitado superiormente, então ${\displaystyle A\;}$ tem supremo. Seja ${\displaystyle a=supA\;,}$ vou mostrar que ${\displaystyle (a_{n})\rightarrow a.}$ Como ${\displaystyle a=supA\;,}$ qualquer que seja ${\displaystyle \epsilon >0,a-\epsilon \;}$ não é o supremo de ${\displaystyle A\;,}$ então existe ${\displaystyle a_{n_{0}}\in A}$ com ${\displaystyle a-\epsilon \leq a_{n_{0}}\leq a.}$ Como a sequência ${\displaystyle (a_{n})\;}$ é não-decrescente, se ${\displaystyle n\geq n_{0},}$ temos ${\displaystyle a-\epsilon \leq a_{n_{0}}\leq a_{n}\leq a,}$ sendo a o supremo de ${\displaystyle A\;,}$ podemos ainda acrescentar uma relação à desigualdade, temos então ${\displaystyle a-\epsilon \leq a_{n_{0}}\leq a_{n}\leq a\leq a+\epsilon ,}$ que significa que, se ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ então ${\displaystyle |a-a_{n}|<\epsilon \;.}$ Que é exatamente a definição de convergência de sequências, então ${\displaystyle (a_{n})\rightarrow a.}$

Toda sequência monótona converge se possui uma subsequência convergente

Sejam ${\displaystyle (a_{n})\;}$ uma sequência em ${\displaystyle \mathbb {R} }$ convergente para ${\displaystyle a\;.}$

1. Se ${\displaystyle a>0\;,}$ então ${\displaystyle \exists \;n_{0}\in \mathbb {N} ;n>n_{0}\Rightarrow a_{n}>0}$
2. Se ${\displaystyle a_{n}>0,\forall \;n\in \mathbb {N} ,}$ então ${\displaystyle a\geq 0.}$

• (1)Seja ${\displaystyle \epsilon =a}$, então existe ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$ tal que ${\displaystyle \forall n\geq n_{0}\implies |a_{n}-a|<a\implies -a<a_{n}-a<a}$. Somando ${\displaystyle a}$ a todos os lados da desigualdade temos que ${\displaystyle 0<a_{n}<2a\implies a_{n}>0\quad \forall n\geq n_{0}}$
• (2)Dado ${\displaystyle \epsilon >0,\exists n_{0}}$ tal que ${\displaystyle n>n_{0}\Rightarrow a-\epsilon <a_{n}<a+\epsilon .}$ Como ${\displaystyle a_{n}>0\;,}$ temos ${\displaystyle 0<a_{n}<a+\epsilon \;}$ e portanto ${\displaystyle 0<a+\epsilon \;}$ e consequentemente ${\displaystyle 0\leq a.}$

Sejam ${\displaystyle (a_{n})\;}$ e ${\displaystyle (b_{n})\;}$ duas sequências em ${\displaystyle \mathbb {R} }$ convergentes, com ${\displaystyle a=\lim a_{n}}$ e ${\displaystyle b=\lim b_{n}.}$

1. Se ${\displaystyle a_{n}<b_{n}\;,}$ para todo ${\displaystyle n}$ natural, então ${\displaystyle a\leq b.}$
2. Se ${\displaystyle a\leq b_{n},\forall \;n,}$ então ${\displaystyle a\leq b}$

• (1)Se ${\displaystyle a_{n}<b_{n}\;,}$ para todo ${\displaystyle n\;}$ natural, então ${\displaystyle 0<b_{n}-a_{n}\;,}$ para todo ${\displaystyle n\;}$ e, pelo lema anterior, ${\displaystyle 0\leq \lim(b_{n}-a_{n})=\lim b_{n}-\lim a_{n}}$ e portanto ${\displaystyle \lim a_{n}\leq \lim b_{n}.}$

• ${\displaystyle (1)\Rightarrow (2)}$ Seja ${\displaystyle a_{n}=a(constante),\forall \;n.}$

Sejam ${\displaystyle (a_{n}),(b_{n}){\mbox{ e }}(c_{n})\;}$ sequências em ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ Se ${\displaystyle \lim a_{n}=\lim b_{n}}$ e ${\displaystyle a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n},}$ para todo ${\displaystyle n\;}$ então ${\displaystyle \exists \lim c_{n}}$ e ${\displaystyle \lim c_{n}=\lim a_{n}=\lim b_{n}.}$

Seja ${\displaystyle c=\lim a_{n}}$ e ${\displaystyle \epsilon >0\;}$ dado.

Por um lado, como ${\displaystyle c=\lim a_{n},}$ existe ${\displaystyle n_{a}\in \mathbb {N} }$ tal que, se ${\displaystyle n>n_{a}\;}$ então ${\displaystyle c-\epsilon <a_{n}<c+\epsilon \;.}$

Por outro lado, como também temos que, como ${\displaystyle c=\lim b_{n}}$ existe ${\displaystyle n_{b}\in \mathbb {N} }$ tal que, se ${\displaystyle n>n_{b}\;}$ então ${\displaystyle c-\epsilon <b_{n}<c+\epsilon \;.}$

Pela desigualdade ${\displaystyle a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n},}$ se ${\displaystyle n>\max\{n_{a},n_{b}\}\;}$ então ${\displaystyle c-\epsilon <a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}<c+\epsilon .}$

Logo ${\displaystyle c=\lim c_{n}.}$

Uma subsequência de uma sequência ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ é uma função ${\displaystyle s:\mathbb {N} '\rightarrow \mathbb {R} ,}$ onde ${\displaystyle \mathbb {N} '\subset \mathbb {N} }$ e ${\displaystyle \mathbb {N} '}$ é infinito. A notação usual para representar uma subsequência é ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} '}.}$

Como ${\displaystyle \mathbb {N} '}$ é enumerável, seus elementos podem ser escritos como ${\displaystyle \{n_{1},n_{2},...,n_{k},..\}\;,}$ e ainda podemos escolher a enumeração de forma com que ${\displaystyle n_{i}<n_{j}\;,}$ se ${\displaystyle i<j\;.}$ Então podemos identificar uma subsequência com uma sequência escrevendo ${\displaystyle (a_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }.}$ Portanto, todos os teoremas que valem para sequências valem para subsequências.

Toda subsequência de uma sequência convergente é convergente.

Seja ${\displaystyle (a_{n})\;}$ uma sequência convergente para ${\displaystyle a\;}$ e ${\displaystyle (a_{n_{k}})}$ uma subsequência de ${\displaystyle (a_{n})\;.}$ Como ${\displaystyle (a_{n})\rightarrow a,}$ dado ${\displaystyle \epsilon >0\;,}$ existe ${\displaystyle n_{0}\;}$ tal que, se ${\displaystyle n>n_{0}\;,}$ então ${\displaystyle |a_{n}-a|<\epsilon \;.}$ Em especial, se ${\displaystyle n_{k}>n_{0}\;,}$ temos ${\displaystyle |a_{n_{k}}-a|<\epsilon .}$ Logo ${\displaystyle (a_{n_{k}})\rightarrow a.}$

Se uma sequência possui duas subsequências convergindo para valores distintos então a sequência é divergente.

Toda sequência limitada, possui uma subsequência convergente ${\displaystyle \;}$

Definição(Valor de aderência): ${\displaystyle a\;}$ é "valor de aderência" de uma sequência ${\displaystyle (a_{n})\;}$ se, e somente se, ${\displaystyle a\;}$ é limite de alguma das subsequências de ${\displaystyle (a_{n})\;}$ se, e somente se, ${\displaystyle \forall \epsilon >0,\exists \;n_{0}\in \mathbb {N} ;\;n>n_{0}\Rightarrow a_{n}\in (a-\epsilon ,a+\epsilon ).}$

Seja ${\displaystyle a_{n}\;}$ uma sequência limitada.

1. Se a sequência ${\displaystyle a_{n}\;}$ é convergente, então o valor de aderência é único
2. Se a sequência ${\displaystyle a_{n}\;}$ possui duas subsequências convergente, convergindo para a e b, com a<b então para índices suficientemente grandes ${\displaystyle a_{n}\in (a-\epsilon ,b+\epsilon )}$
3. Se a sequência ${\displaystyle a_{n}\;}$ possui n+2 subsequências convergindo para ${\displaystyle a,c_{1},...,c_{n},b\;com\;a<c_{i}<b,i=1,2,...,n.}$ Então a e b são o menor e maior valor de aderência e ${\displaystyle c_{i}\in (a+\epsilon ,b-\epsilon ),i=1,2,...,n}$
4. Se ${\displaystyle b_{n}\rightarrow a,c_{n}\rightarrow b}$ subsequências de ${\displaystyle a_{n}\;}$ que possuem menor e o maior valor de aderência respectivamente, então ${\displaystyle b_{n},c_{n}\;}$ são monótonas e ${\displaystyle b_{n}\;}$ é crescente ou não-decrescente e ${\displaystyle c_{n}\;}$ é decrescente ou não-crescente

• (1) ${\displaystyle a_{n}\rightarrow a\Rightarrow a_{n}}$ possui uma subsequência convergindo para a. Por definição a é valor de aderência. Como ${\displaystyle a_{n}\;}$ é convergente, não existe outra subsequência convergindo para outro valor diferente de a. Logo a é o único valor de aderência.
• (2) Temos ${\displaystyle n>n_{1}\Rightarrow a_{n}\in (a-\epsilon ,a+\epsilon )\;e\;n>n_{2}\Rightarrow a_{n}\in (b-\epsilon ,b+\epsilon ).}$
  • Também ${\displaystyle a-\epsilon <a<b<b+\epsilon \Rightarrow n>n_{0}=max\{n_{1},n_{2}\},com\;a_{n}\in (a-\epsilon ,b+\epsilon )}$
• (3)Seja ${\displaystyle c_{j}\leq c_{i}\leq c_{k},i=1,2,...,n.}$ Temos ${\displaystyle n>n_{j}\Rightarrow a_{n}\in (c_{j}-\epsilon ,c_{j}+\epsilon )}$. Tome ${\displaystyle n>n_{k}\Rightarrow a_{n}\in (c_{k}-\epsilon ,c_{k}+\epsilon )\Rightarrow n>n_{0}^{*}=\max\{n_{j},n_{k}\},\;com\;a_{n}\in (c_{j}-\epsilon ,c_{k}+\epsilon ).}$
  • ${\displaystyle a+\epsilon <c_{j}<c_{k}<b-\epsilon \Rightarrow a<c_{j}-\epsilon <c_{k}+\epsilon <b\;}$
  • ${\displaystyle c_{i}\in [c_{j},c_{k}]\subset (c_{j}-\epsilon <c_{k}+\epsilon )\subset (a,b)}$ e ${\displaystyle c_{i}\in [c_{j},c_{k}]\subset (a+\epsilon ,b-\epsilon )\subset (a,b)}$
• (4) por (2) é verdade que ${\displaystyle n>n_{0}=max\{n_{1},n_{2}\}\Rightarrow a_{n}\in (a-\epsilon ,b+\epsilon ).}$ Mas não pode existir ${\displaystyle b_{n},c_{n}\in (a+\epsilon ,b-\epsilon )\;com\;n>n_{0}(Sendo\;\epsilon <{a+b \over 2})}$
  • ${\displaystyle \not \exists b_{j}\geq c_{i},\forall \;i,j\in \mathbb {N} \Rightarrow b_{i}<c_{j},\forall \;i,j\in \mathbb {N} }$
  • Se ${\displaystyle b_{n}\;}$ fosse decrescente ou não-crescente, teríamos ${\displaystyle b_{n}\in [a,a+\epsilon ).}$ Como ${\displaystyle n>n_{0}\Rightarrow b_{n}\in (a,b+\epsilon ),\;assim\;b<b_{i}}$ para algum ${\displaystyle b_{i}\;.}$ (contradição). Da mesma forma fazemos com ${\displaystyle c_{n}\;}$

Uma classe muito importante de sequências são as sequências de Cauchy, que são muito importantes não só para a Análise Real, mas também para a Análise Matemática e Topologia.

Seja ${\displaystyle (a_{n})\;}$ uma sequência convergente para um ponto ${\displaystyle a\;.}$ Como ${\displaystyle (a_{n})\;}$ converge para ${\displaystyle a\;,}$ qualquer que seja ${\displaystyle \epsilon >0\;,}$ existe ${\displaystyle n_{0}\;}$ tal que, se ${\displaystyle n>n_{0}\;,}$ então ${\displaystyle |a_{n}-a|<\epsilon /2\;.}$ Portanto, se ${\displaystyle n,m>n_{0}\;,}$ então ${\displaystyle |a_{n}-a_{m}|\leq |a_{n}-a|+|a_{m}-a|<\epsilon /2+\epsilon /2=\epsilon .}$ Portanto ${\displaystyle (a_{n})\;}$ é de Cauchy.

Se ${\displaystyle (x_{n})\;}$ é uma sequência de números reais de Cauchy, então existem ${\displaystyle m,M\;}$ reais tais que ${\displaystyle m\leq x_{n}\leq M,}$ para todo n natural.

Como ${\displaystyle (x_{n})\;}$ é uma sequência de Cauchy, dado ${\displaystyle \epsilon >0\;,}$ existe ${\displaystyle n_{0}\;}$ natural tal que, se ${\displaystyle n,m>n_{0}\;,}$ então ${\displaystyle |x_{n}-x_{m}|<\epsilon \;,}$ portanto ${\displaystyle |x_{n}-x_{{n_{0}}+1})|<\epsilon ,}$ de onde concluimos que ${\displaystyle x_{n}\in (x_{{n_{0}}+1}-\epsilon ,x_{{n_{0}}+1}+\epsilon ).}$

Como ${\displaystyle \{x_{0},x_{1},...,x_{n_{0}}\}}$ é um conjunto finito, sabemos que ele tem maior e menor elemento, então podemos definir ${\displaystyle s=min\{x_{0},x_{1},...,x_{n_{0}}\},S=max\{x_{0},x_{1},...,x_{n_{0}}\},}$ Desta forma definindo ${\displaystyle m=min\{s,x_{{n_{0}}+1}-\epsilon \}}$ e ${\displaystyle M=max\{S,x_{{n_{0}}+1}+\epsilon \},}$ temos que ${\displaystyle m\leq x_{n}\leq M,}$ para todo ${\displaystyle n\;}$ natural. Como queríamos.

Se ${\displaystyle (a_{n})\;}$ em ${\displaystyle \mathbb {R} }$ é uma sequência de Cauchy com subsequência ${\displaystyle (a_{n_{k}})}$ convergente para ${\displaystyle a\;,}$ então ${\displaystyle (a_{n})\;}$ converge para ${\displaystyle a\;.}$

Dado ${\displaystyle \epsilon >0\;,}$ como ${\displaystyle (a_{n_{k}})}$ converge para ${\displaystyle a\;,}$ existe ${\displaystyle n_{k_{0}}}$ tal que se ${\displaystyle n_{k}\geq n_{k_{0}},}$ então ${\displaystyle |a-a_{n_{k}}|<\epsilon /2.}$ Como ${\displaystyle (a_{n})\;}$é Cauchy, existe ${\displaystyle n_{0}>0\;tal\;que\;n,m\geq n_{0},}$ então ${\displaystyle |a_{m}-a_{n}|<\epsilon /2\;.}$Tome agora ${\displaystyle n_{k_{1}}=\max(n_{k_{0}},n_{0})}$. Assim, pela desigualdade triangular, se ${\displaystyle n>n_{k_{1}}\;,}$ então ${\displaystyle |a-a_{n}|\leq |a-a_{n_{k_{1}}}|+|a_{n_{k_{1}}}+a_{n}|\leq \epsilon /2+\epsilon /2=\epsilon .}$

Seja ${\displaystyle (a_{n})\;}$ uma sequência qualquer e considere o conjunto ${\displaystyle B=\{a_{n}:a_{n}\leq a_{k},\forall k\in \mathbb {N} ,k>n\}.}$ Se ${\displaystyle B\;}$ for infinito, então ${\displaystyle (a_{n})\;}$ tem subsequência não decrescente, caso contrário ${\displaystyle (a_{n})\;}$ tem subsequência decrescente.

Se ${\displaystyle (a_{n})\;}$ é uma sequência de Cauchy, pelo lema anterior, existe uma subsequência ${\displaystyle (a_{n_{k}})}$ monótona. Como ${\displaystyle (a_{n})\;}$ é Cauchy, ${\displaystyle (a_{n})\;}$ é limitada e portanto a subsequência ${\displaystyle (a_{n_{k}})}$ também é limitada. Como toda sequência real monótona limitada converge, temos que ${\displaystyle (a_{n_{k}})}$ converge, logo ${\displaystyle (a_{n})\;}$ converge também, pois tem subsequência convergente. Concluímos que toda sequência real de Cauchy converge.

Vimos, em um capítulo anterior (Enumerabilidade) que existem conjuntos enumeráveis e conjuntos que não são enumeráveis. A prova será feita agora; mais especificamente, mostraremos que o intervalo fechado [0, 1] não é enumerável (o resultado para ${\displaystyle \mathbb {R} \,}$ é imediato, pois ${\displaystyle [0,1]\subseteq \mathbb {R} \,}$).

Seja portanto ${\displaystyle s:\mathbb {N} \to [0,1]\,}$ uma sequência qualquer de números reais entre zero e um.

Vamos construir uma sequência de intervalos, por indução finita, definindo:

• ${\displaystyle I_{0}=[0,1]\,}$
• Seja ${\displaystyle I_{n}=[a,b]\,}$ e sejam ${\displaystyle m={\frac {a+b}{2}}}$, ${\displaystyle a_{1}={\frac {2a+b}{3}}\,}$ e ${\displaystyle b_{1}={\frac {a+2b}{3}}}$. Então definimos ${\displaystyle I_{n+1}=[a,a_{1}]\,}$ se ${\displaystyle x_{n}>m\,}$, e ${\displaystyle I_{n+1}=[b_{1},b]\,}$ caso contrário.

Por construção, é fácil ver que ${\displaystyle \ldots I_{2}\subset I_{1}\subset I_{0}\,}$. Além disso, temos que ${\displaystyle \forall n,x_{n}\not \in I_{n+1}\,}$.

Consideremos, então, a interseção de todos os intervalos ${\displaystyle A=I_{0}\cap I_{1}\cap I_{2}\ldots \,}$. Pela propriedade dos intervalos encaixados, este conjunto não é vazio (este conjunto é unitário, mas este detalhe não é importante neste prova).

Assim, temos que existe a, ${\displaystyle a\in A\,}$. Mas, pela propriedade de que ${\displaystyle \forall n,x_{n}\not \in I_{n+1}\,}$, temos que ${\displaystyle x_{n}\not \in A\,}$, ou seja, a é diferente de cada um dos x_n.

Em outras palavras, dada uma sequência de números entre 0 e 1, é possível construir um número real que não está nesta sequência.

Ou seja, o intervalo [0, 1] (portanto, os números reais) não é um conjunto enumerável.