Análise real/Seqüência de funções

Nesta seção, introduzimos um importante conceito da análise real, a ideia de sequência de funções. Uma sequência de funções em um domínio ${\displaystyle D\,}$ é definida com um conjunto ${\displaystyle \{f_{i}\}\,}$ de funções ${\displaystyle f_{i}:D\to \mathbb {R} \,}$ indexadas com um índice ${\displaystyle i\,}$. São exemplos de sequência de funções definidas em toda a reta (${\displaystyle D=\mathbb {R} \,}$):

• ${\displaystyle f_{i}(x)=ix^{2}\,}$
• ${\displaystyle f_{i}(x)={\frac {i}{i+x^{2}}}~~,i\geq 1\,}$
• ${\displaystyle f_{i}(x)={\frac {x}{i}}~~,i\geq 1\,}$

O leitor deve observar que para cada ponto fixo no domínio ${\displaystyle x_{0}\,}$, uma sequência de funções define um sequência numérica:

${\displaystyle f_{i}(x_{0})\,}$ define uma sequência numérica para cada ${\displaystyle x_{0}\,}$ fixo.

Uma sequência de funções ${\displaystyle \{f_{i}\}_{i=1}^{\infty }\,}$ é dita equilimitada num conjunto ${\displaystyle E\,}$ se cada uma das funções está definida em ${\displaystyle E\,}$ e se existe uma constante ${\displaystyle M\,}$ tal que:

• ${\displaystyle |f_{i}(x)|\leq M,~~\forall x\in E~~\forall i\geq 1\,}$