Análise real/Série

Série de uma sequência é a soma de todos os elementos de uma sequência infinita. Como uma sequência ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$, têm infinitos termos, assim podemos dizer mais formalmente que:

• Série de uma sequência é a soma infinita de uma sequência

Dada uma sequência ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$, como somaremos todos os seus termos? vamos tomar ${\displaystyle (s_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ como uma sequência de soma dos termos de ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$. Assim:

• ${\displaystyle s_{1}=a_{1}\;}$, ${\displaystyle s_{2}=\sum _{n=1}^{2}a_{n}\;}$, ${\displaystyle s_{m}=\sum _{n=1}^{m}a_{n}\;}$
• ${\displaystyle s=\lim s_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\;}$

Proposição: é condição necessária para convergência de uma série que seu termo geral tenda para 0.

Se ${\displaystyle s=\lim s_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\;}$ é uma série convergente então ${\displaystyle \lim \;a_{n}=0}$

Demonstração

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}-\sum _{k=1}^{n-1}a_{k}\,}$

tomando limites, temos:

${\displaystyle \lim a_{n}=s-s=0\,}$

Observação

A recíproca é, no entanto, falsa. Um contraexemplo simples é dado pela série harmônica ${\displaystyle \sum _{1}^{\infty }1/n\,}$ que não é convergente^[1], apesar de seu termo geral convergir para zero ^[2].

Seja ${\displaystyle \sum a_{n}=\;a,\sum b_{n}=b}$ convergentes. Pelas propriedades de soma e produto

• ${\displaystyle \sum a_{n}+\sum b_{n}=\sum (a_{n}+b_{n})\;}$ converge para a + b
• ${\displaystyle t\sum a_{n}=\sum ta_{n}\;}$ converge para ta
• ${\displaystyle (\sum a_{n})(\sum b_{n})=\;}$ converge para ab
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\Rightarrow \sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}}$ converge para p.
  • ${\displaystyle p=a-\sum _{n=1}^{n_{0}-1}a_{n}\,}$
  • Se ${\displaystyle a_{n}\geq 0,\forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow p<a}$

A série geométrica é a é formada por termos em progressão geométrica:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }r^{n}=1+r+r^{2}+r^{3}+\ldots }$

Da teoria das progressões geométricas, temos que:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}r^{n}={\frac {1-r^{N+1}}{1-r}}={\frac {1}{1-r}}-{\frac {r^{N+1}}{1-r}}}$

É facil ver que se ${\displaystyle |r|<1}$ então esta série é convergente e sua soma é dada por:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }r^{n}={\frac {1}{1-r}}}$

Por outro lado, se ${\displaystyle |r|\geq 1}$, esta série não pode ser convergente pelo teste do termo geral, demonstrado logo acima.

De maneira geral, para qualquer série geométrica, cujo valor da razão r seja menor que 1, sua soma é dada por:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }ar^{n}={\frac {a}{1-r}}}$

Onde "a" é o termo inicial da série.

1. ↑ Veja, por exemplo, esta página
2. ↑ Conforme se vê nesta página