Análise real/Propriedades-Funções

Uma função ${\displaystyle f:A\mapsto B}$ é dita sobrejetiva se ${\displaystyle f(A)=B}$, ou seja, se ${\displaystyle \forall y\in B,\exists x\in A;{\mbox{ tal que }}f(x)=y}$.

Ao se verificar a sobrejetividade de uma função, deve estar claro qual conjunto está sendo considerado como contradomínio. Modificando-o, uma função que não é sobrejetiva pode passar a ser.

Exemplo. Seja ${\displaystyle A=\{a,b\}}$. A função f, definida por ${\displaystyle f(x)=x,\forall x\in A}$, não é sobrejetiva de A em ${\displaystyle \{a,b,c\}}$ mas é sobrejetiva de A em ${\displaystyle \{a,b\}}$.

• Toda função é sobrejetiva na sua imagem, ou seja, ${\displaystyle f:A\mapsto f(A)}$ é sobrejetiva.

Uma função ${\displaystyle f:A\mapsto B}$ é dita injetiva se ocorre uma destas:

• para quaisquer ${\displaystyle x,y\in A}$ tais que ${\displaystyle x\neq y}$ temos ${\displaystyle f(x)\neq f(y)}$;
• ${\displaystyle x,y\in A}$ são tais que ${\displaystyle f(x)=f(y)}$, então ${\displaystyle x=y}$;
• ${\displaystyle \forall \;y\in f(A),\exists x!\in A{\mbox{ tal que }}f(x)=y}$.
• Dizemos que a função f tem a propriedade P em A se ${\displaystyle f|A}$ tem a propriedade P. Por exemplo, dizer que f é injetiva em A significa que ${\displaystyle f|A}$ é injetiva. Isto é muito usual, sobretudo em conversas informais entre matemáticos. Entretanto, isto deve ser usado com cuidado para não cairmos em armadilhas.

Uma função ${\displaystyle f:A\mapsto B}$ é dita bijetiva ou bijeção se ela é injetiva e sobrejetiva.

Exemplo: Sejam ${\displaystyle A=\{1,2,3\},B=\{2,4,6\}eC=\{1,4,9,16\}}$. Consideremos as funções ${\displaystyle f:A\mapsto B,g:A\mapsto C{\mbox{ e }}h:A\mapsto A}$ definidas por ${\displaystyle f(x)=2x,g(x)=x^{2},h(x)=2\forall \;x\in A}$.

Temos que f é injetiva e sobrejetiva e, portanto, bijetiva. Temos ainda que g é injetiva, mas não é sobrejetiva e h não é injetiva e nem sobrejetiva.

Dado A um conjunto e P(A), o conjunto das partes de A, não existe uma função ${\displaystyle f:A\mapsto P(A)}$ que seja sobrejetiva.

Prova 1

• para que f não seja sobrejetiva, ${\displaystyle P(A)\setminus f(A)\neq \varnothing \Rightarrow \exists \;y\in P(A),tal\;que\;\forall \;x\in A,f(x)\neq y}$. Ou seja, existe algum y em P(A), que não é imagem de nenhum elemento de A pela função f.
• Pela f ser uma função, ${\displaystyle \forall x\in A,\exists \;y\in P(A),tal\;que\;y=f(x)\in P(A)}$.
• Tomemos ${\displaystyle f:A\mapsto P(A),comf(x)=\{x\}}$, assim ${\displaystyle P(A)\setminus f(A)=P(A)\setminus \bigcup _{x\in A}\{x\}}$. As outras funções que existir deverá ter que ${\displaystyle \#P(A)\setminus \bigcup _{x\in A}\{x\}=\#IM_{f}-\#A,\forall \;f:A\mapsto P(A).}$
  • Em outras palavras, outras funções que existirem, basta x deixar de flexar {x} e flexar outro elemento.

Prova 2

• Vamos considerar um subconjunto de P(A), U(A), como sendo os conjuntos unitários formados pelos elementos de A, mais o conjunto vazio.
• Assim U(A) sempre têm um elemento a mais que A, qualquer função que tomarmos, ${\displaystyle g:A\mapsto U(A)}$ não é sobrejetiva, pois sempre vai faltar um elemento em U(A) para ser flexado.
• É fácil ver que g é uma restrição da função f. Como g não é sobrejetiva, f também não é.

• ${\displaystyle \phi (A\cup B)=\phi (A)\cup \phi (B)}$
• ${\displaystyle \phi (A\cap B)\subset \phi (A)\cup \phi (B)}$
• ${\displaystyle A\subset B\Rightarrow \phi (A)\subset \phi (B)}$
• ${\displaystyle \phi (\varnothing )=\varnothing }$