Análise real/Propriedades

Sejam ${\displaystyle A,B\subset K}$.

• ${\displaystyle A\cup B=K,A\cap B\neq \varnothing \Rightarrow A-B=\complement _{A}B=K-B=\complement _{K}B}$.
  • ${\displaystyle Dado\;x\in K=A\cup B\Rightarrow x\in A{\mbox{ ou }}x\in B{\mbox{ ou }}x\in A\cap B}$
• ${\displaystyle A\cup B=K,A\cap B=\varnothing \Rightarrow {\mbox{ dado }}x\in K\Rightarrow x\in A{\mbox{ ou }}x\in B}$.
• ${\displaystyle A\subset B\Rightarrow B^{C}\subset A^{C}}$.
  • Dado ${\displaystyle x\in B^{C}\Rightarrow x\not \in B\Rightarrow ^{1}x\not \in A\Rightarrow x\in A^{C}}$. 1 Suponha que ${\displaystyle A-B\neq \emptyset \Rightarrow \exists x\in K;x\in A,x\not \in B\Rightarrow A\not \subset B}$ que opõe-se da nossa hipótese.

• ${\displaystyle A\cup B=B\Leftrightarrow _{1}A\subset B\Leftrightarrow _{2}A\cap B=A}$
  • ${\displaystyle \Rightarrow _{1}:De\;fato\;A\subset A\cup B.\;Como\;A\cup B=B\Rightarrow A\cup B\subset B.\;Logo\;A\subset A\cup B\subset B\Rightarrow A\subset B.}$
  • ${\displaystyle \Leftarrow _{1}:De\;fato\;A,B\subset A\cup B.\;Como\;A\subset B,\;logo\;A\cup B\subset B.\;Portanto\;A\cup B=B.}$
  • ${\displaystyle \Rightarrow _{2}:De\;fato\;A\cap B\subset A.\;Como\;A\subset B,\;logo\;A\subset A\cap B.}$
  • ${\displaystyle \Leftarrow _{2}:Como\;A\cap B=A\Rightarrow A\subset A\cap B.\;De\;fato\;A\cap B\subset B\Rightarrow A\subset B.}$

• ${\displaystyle (A\cup B)^{C}=A^{C}\cap B^{C}}$
  • ${\displaystyle \forall x\in (A\cup B)^{C}\Rightarrow x\not \in A\cup B.\;Como\;A\cup B=(A-B)\cup (B-A)\cup (A\cap B),\;disjuntos\Rightarrow x\not \in A-B,x\not \in B-A\;e\;x\not \in A\cap B\Rightarrow }$
    • ${\displaystyle \Rightarrow x\not \in A\;e\;x\not \in B\Rightarrow x\in A^{C}\;e\;x\in B^{C}\Rightarrow x\in A^{C}\cap B^{C}\Rightarrow (A\cup B)^{C}\subset A^{C}\cap B^{C}}$ (1)
  • ${\displaystyle \forall x\in A^{C}\cap B^{C}\Rightarrow x\in A^{C}\;e\;x\in B^{C}\Rightarrow x\not \in A\;e\;x\not \in B\Rightarrow x\not \in A-B,x\not \in B-A\;e\;x\not \in A\cap B\Rightarrow x\not \in A\cup B\Rightarrow x\in (A\cup B)^{C}\Rightarrow A^{C}\cap B^{C}\subset (A\cup B)^{C}}$ (2)
  • Por (1) e (2), temos que ${\displaystyle (A\cup B)^{C}=A^{C}\cap B^{C}}$
• ${\displaystyle (A\cap B)^{C}=A^{C}\cup B^{C}}$
  • ${\displaystyle \forall x\in (A\cap B)^{C}\Rightarrow x\not \in A\cap B\Rightarrow x\not \in A\;e\;x\not \in B\Rightarrow x\in A^{C}\;e\;x\in B^{C}\Rightarrow x\in A^{C}\cup B^{C}}$
  • ${\displaystyle \forall x\in A^{C}\cap B^{C}\Rightarrow x\in A^{C}\;e\;x\in B^{C}\Rightarrow x\not \in A\;e\;x\not \in B\Rightarrow x\not \in A\cap B\Rightarrow x\in (A\cap B)^{C}}$

• ${\displaystyle \varnothing \in \varnothing }$
  • Considere K, um conjunto qualquer e ${\displaystyle A=K\cap K^{C}}$. Suponha que ${\displaystyle \varnothing \in A}$. Como A é a intersecção disjunta de dois conjuntos, logo ${\displaystyle \varnothing \in K\;e\;\varnothing \in K^{C}}$. Mas não existe um elemento que pertença a um conjunto e ao seu complementar ao mesmo tempo. Portanto ${\displaystyle \varnothing \not \in \varnothing }$
• ${\displaystyle \varnothing \subset \varnothing }$
  • Por contradição ${\displaystyle \varnothing _{A}\not \subset \varnothing _{B}\Rightarrow \exists x\in \varnothing _{A};x\not \in \varnothing _{B}\Rightarrow \varnothing _{A}-\varnothing _{B}\neq \varnothing }$. O que é um absurdo, pois estamos dizendo que um conjunto vazio tenha algum elemento.
  • Suponha um conjunto A qualquer e que ${\displaystyle \varnothing \not \subset A}$, isso implica que o conjunto vazio têm um elemento que o A não tenha. Mas o conjunto vazio não têm elementos. Portanto o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, inclusive de si mesmo.
• ${\displaystyle \varnothing \in \{\varnothing \}}$
  • O conjunto das partes do conjunto ${\displaystyle \{\}}$, é ${\displaystyle \{\varnothing \}}$. Portanto o conjunto vazio pertence ao conjunto das partes do conjunto vazio.
• ${\displaystyle \varnothing \subset \{\varnothing \}}$
  • Tomemos as parte do conjunto ${\displaystyle \{\}}$, que é ${\displaystyle \{\varnothing \}}$. Todo conjunto é subconjunto de si mesmo, assim: ${\displaystyle \{\varnothing \}\subset \{\varnothing \}}$

Considere ${\displaystyle A=\{x\in U;P\;ocorre\},B=\{x\in U;Q\;ocorre\}\;e\;C=\{x\in U;R\;ocorre\}}$. Determine a relação entre as condições P, Q e R, onde

• ${\displaystyle A\cap B^{C}\subset C}$
  • ${\displaystyle \forall x\in A\cap B^{C}\Rightarrow x\in A\;e\;x\in U-B\Rightarrow x\in C.}$
    • ${\displaystyle \therefore P\land \lnot Q\Rightarrow R}$. Isto é, todo elemento do conjunto U que possui a propriedade P e não possui a propriedade Q, possui a propriedade R.
    • Devemos aqui ter bem claro que ${\displaystyle x\in U-A}$ significa que temos um elemento do conjunto U que não pertence ao conjunto A, isto é, não possui a propriedade P.
• ${\displaystyle A^{C}\cup B^{C}\subset C}$
  • ${\displaystyle \forall x\in A^{C}\cup B^{C}\Rightarrow x\in U-A\;ou\;x\in U-B\Rightarrow x\in C}$
    • ${\displaystyle \therefore \lnot P\lor \lnot Q\Rightarrow R}$. Isto é, todo elemento do conjunto U que não possui a propriedade P ou não possui a propriedade Q, possui a propriedade R.

• ${\displaystyle A^{C}\cup B\subset C^{C}}$
  • ${\displaystyle \forall x\in A^{C}\cup B\Rightarrow x\in U-A\;ou\;x\in B\Rightarrow x\in U-C}$
    • ${\displaystyle \therefore \lnot P\lor Q\Rightarrow \lnot R}$. Isto é, todo elemento do conjunto U que não possui a propriedade P ou possui a propriedade Q, não possui a propriedade R.

• ${\displaystyle A^{C}\subset B^{C}\cup C}$
  • ${\displaystyle \forall x\in A^{C}\Rightarrow x\in U-A\Rightarrow x\in U-B\;ou\;x\in C}$
    • ${\displaystyle \therefore \lnot P\Rightarrow \lnot Q\lor R}$. Isto é, todo elemento do conjunto U que não possui a propriedade P, não possui a propriedade Q ou possui a propriedade R.

• ${\displaystyle A\subset B^{C}\cup C^{C}}$
  • ${\displaystyle \forall x\in A\Rightarrow x\in B^{C}\cup C^{C}\Rightarrow x\in U-B\;ou\;x\in U-C}$
    • ${\displaystyle \therefore P\Rightarrow \lnot Q\lor \lnot R}$. Isto é, todo elemento do conjunto U que possui a propriedade P, não possui a propriedade Q ou não possui a propriedade R.