Análise real/Produto Cartesiano

Dados dois objetos a e b definimos o par ordenado (a, b) cuja primeira coordenada é "a" e a segunda é "b". Dois pares ordenados (a, b) e (c, d) são iguais se eles forem iguais coordenada por coordenada, i.e., ${\displaystyle (a,b)=(c,d)\Leftrightarrow a=c{\mbox{ e }}b=d}$.

Repare que ${\displaystyle (a,b)\neq (b,a)}$ salvo se a = b e que ${\displaystyle (a,a)\neq a}$. De maneira análoga definimos triplas ordenadas ${\displaystyle (a,b,c)}$ ou n-uplas ordenadas ${\displaystyle (a_{1},...,a_{n})}$.

Dados dois conjuntos A e B existe um conjunto chamado de produto cartesiano de A e B (denotado ${\displaystyle A\times B}$) formado pelos pares ordenados (a, b) tais que ${\displaystyle a\in A\;e\;b\in B}$. Em símbolos: ${\displaystyle A\times B=\{(a,b);a\in A\;e\;b\in B\}}$.

Ex.: ${\displaystyle A\times A=\{(a,b);a\in A\;e\;b\in A\}}$ e, por simplicidade, o denotamos ${\displaystyle A^{2}}$.

Ex.: De maneira análoga definimos ${\displaystyle A\times B\times C=\{(a,b,c);a\in A,b\in B\;e\;c\in C\},}$

Ex.: ${\displaystyle A^{3}=A\times A\times A,A^{n}={\begin{matrix}\underbrace {A\times ...\times A} \\nvezes\end{matrix}}}$

Ex: Sejam ${\displaystyle A=\{1,2,3,4\}{\mbox{ e }}B=\{a,b,c\}\Rightarrow A\times B=\{(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c),(4,a),(4,b),(4,c)\}}$

Exemplos importantes de Planos Cartesianos: ${\displaystyle \mathbb {N} ^{2}=\mathbb {N} \times \mathbb {N} ;\mathbb {Z} ^{2}=\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} ;\mathbb {Q} ^{2}=\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} ;\mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} }$.

A diagonal mais simples é do quadrado ${\displaystyle A^{2}:\Delta (A^{2})=\{(a,a);a\in A\}}$. Da mesma forma temos a diagonal do quadrado ${\displaystyle A^{n}:\Delta (A^{n})=\{{\begin{matrix}\underbrace {(a,a,...,a)} \\nvezes\end{matrix}};a\in A\}}$

• Mas temos outras diagonais que exigem um pouco mais de elaboração como a de um retângulo ${\displaystyle A\times B}$. Supondo que o ${\displaystyle \min(A),\min(B),\max(A),\max(B)<\infty :}$ ${\displaystyle \Delta (A\times B)=\{(\min(A),\min(B))+c(\max(A)-\min(A),\max(B)-\min(B));c\in [0,1]\}}$

Ex.: ${\displaystyle A=[2,12],B=[1,15]:\Delta (A\times B)=\{(2,1)+c(10,14);c\in [0,1]\}}$

• Dois pares ordenados são iguais se são iguais coordenada a coordenada, assim
  • ${\displaystyle (a,b)=(c,d)\Leftrightarrow a=c\;e\;b=d}$