Análise real/Operação

É comum definirmos um conjunto usando alguma propriedade:

• ${\displaystyle Seja\;X\subset K,X=\{x\in K;x\;goza\;da\;propriedade\;P\}}$
• Ex: ${\displaystyle K=\{...,-3,-2,-1,0,1,...\},X=\{x\in K;x>0\}=\{1,2,3,4,...\}}$
  • Observe que K é o conjunto dos inteiros e que X é o conjunto dos naturais

A união de dois conjuntos é a reunião dos seus elementos, se algum elemento estiver repetido na inclusão, será contado uma única vez, assim:

• ${\displaystyle Seja\;A,B\subset K,A\cup B=\{x\in K;x\in A\;ou\;x\in B\}}$
  • Veremos mais para frente que ${\displaystyle A\cup B=(A-B)\cup (B-A)\cup (A\cap B)}$ ao qual são três conjuntos disjuntos
• Temos que ${\displaystyle A,B\subset A\cup B}$.

Propriedades Básicas:

• NULO: ${\displaystyle A\cup \varnothing =A}$
  • Basta verificarmos que ${\displaystyle A\cup \varnothing \subset A}$ e depois que ${\displaystyle A\subset A\cup \varnothing }$. Assim ${\displaystyle \forall \;x\in A\cup \varnothing \Leftrightarrow x\in A}$
• IDENTIDADE: ${\displaystyle A\cup A=A}$
  • ${\displaystyle \forall \;x\in A\cup A\Leftrightarrow x\in A\;ou\;x\in A\Leftrightarrow x\in A}$
• COMUTATIVIDADE: ${\displaystyle A\cup B=B\cup A}$
  • ${\displaystyle \forall \;x\in A\cup B\Leftrightarrow x\in A\;ou\;x\in B\Leftrightarrow x\in B\;ou\;x\in A\Leftrightarrow x\in B\cup A}$
• SUBCONJUNTO: ${\displaystyle A\cup B=A\Leftrightarrow B\subset A}$
  • ${\displaystyle \Rightarrow :A\cup B\subset A\Rightarrow \forall \;x\in B,\;teremos\;x\in A\Rightarrow B\subset A.}$
  • ${\displaystyle \Leftarrow :\forall \;x\in A\Rightarrow x\in A\;ou\;x\in B\Rightarrow x\in A\cup B\Rightarrow x\in A\cup B,\;logo\;}$ ${\displaystyle A\subset A\cup B}$.
  • ${\displaystyle \forall \;x\in A\cup B\Rightarrow x\in A\;ou\;x\in B,\;como\;B\subset A\Rightarrow x\in A\Rightarrow A\cup B\subset A.\;Portanto\;A\cup B=A}$
• ASSOCIATIVA: ${\displaystyle (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C).}$
  • ${\displaystyle \forall \;x\in (A\cup B)\cup C\Leftrightarrow (x\in A\;ou\;x\in B)\;ou\;x\in C\Leftrightarrow x\in A\;ou\;x\in B\;ou\;x\in C\Leftrightarrow x\in A\;ou\;(x\in B\;ou\;x\in C)\Leftrightarrow x\in A\cup (B\cup C).}$
• ${\displaystyle A\subset B\;e\;C\subset D\Rightarrow A\cup C\subset B\cup D}$
  • ${\displaystyle \forall \;x\in A\cup C\Rightarrow x\in A\;ou\;x\in C,\;como\;A\subset B,C\subset D,\;logo\;x\in B\;ou\;x\in D\Leftrightarrow x\in B\cup D.}$

A intersecção de dois conjuntos é a reunião dos elementos que estão em ambos, assim:

• ${\displaystyle Seja\;A,B\subset K,A\cap B=\{x\in K;x\in A\;e\;x\in B\},\;ou\;seja\;,x\in A\cap B\Rightarrow x\in A\;e\;x\in B}$

Exemplos:

• NULO: ${\displaystyle A\cap \varnothing =\varnothing .}$
  • ${\displaystyle \forall x\in A\cap \varnothing \Leftrightarrow x\in A\;e\;x\in \varnothing \Leftrightarrow x\in \varnothing .}$
• IDENTIDADE: ${\displaystyle A\cap A=A.}$
  • ${\displaystyle \forall x\in A\cap A\Leftrightarrow x\in A\;e\;x\in A\Leftrightarrow x\in A.}$
• COMUTATIVIDADE: ${\displaystyle A\cap B=B\cap A.}$
  • ${\displaystyle \forall x\in A\cap B\Leftrightarrow x\in A\;e\;x\in B\Leftrightarrow x\in B\;e\;x\in A\Leftrightarrow x\in B\cap A.}$
• SUBCONJUNTO: ${\displaystyle A\cap B=B\Leftrightarrow B\subset A.}$
  • ${\displaystyle \Rightarrow :\forall x\in B,\;como\;B\subset A\cap B\Rightarrow x\in A\cap B\Rightarrow x\in A\Rightarrow B\subset A.}$
  • ${\displaystyle \Leftarrow :\;Como\;B\subset A\Rightarrow \forall \;x\in B\Rightarrow x\in A\Rightarrow x\in A\;e\;x\in B\Rightarrow x\in A\cap B,\;logo\;}$ ${\displaystyle B\subset A\cap B}$.
  • ${\displaystyle \forall x\in A\cap B\Rightarrow x\in A\;e\;x\in B\Rightarrow x\in B\Rightarrow A\cap B\subset B.\;Portanto\;A\cap B=B\;.}$
• ASSOCIATIVA: ${\displaystyle (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C).}$
  • ${\displaystyle \forall \;x\in (A\cap B)\cap C\Leftrightarrow x\in A\cap B\;e\;x\in C\Leftrightarrow (x\in A\;e\;x\in B)\;e\;x\in C\Leftrightarrow x\in A\;e\;x\in B\;e\;x\in C\Leftrightarrow }$

${\displaystyle \Leftrightarrow x\in A\;e\;(x\in B\;e\;x\in C)\Leftrightarrow x\in A\;e\;x\in B\cap C\Leftrightarrow x\in A\cap (B\cap C).}$

• ${\displaystyle A\subset B\;e\;C\subset D\Rightarrow A\cap C\subset B\cap D}$
  • ${\displaystyle \forall x\in A\cap C\Rightarrow x\in A\;e\;x\in C,\;como\;A\subset B,C\subset D,\;logo\;x\in B\;e\;x\in D\Leftrightarrow x\in B\cap D.}$

A diferença de dois conjuntos é o conjunto dos elementos do primeiro com a exclusão dos elementos do segundo conjunto, assim:

• ${\displaystyle Seja\;A,B\subset K,A-B=\{x\in K;x\in A\;e\;x\not \in B\}}$.
• ${\displaystyle A\setminus B\;e\;A-B}$ significam a mesma coisa.

• ${\displaystyle A\setminus B=A\cap B^{C}}$
  • ${\displaystyle Tome\;x\in A\setminus B\Rightarrow x\in A\land x\not \in B\Rightarrow x\in A\land x\in B^{C}\Rightarrow x\in A\cap B^{C}\Rightarrow A\setminus B\subset A\cap B^{C}}$.
  • ${\displaystyle Tome\;x\in A\cap B^{C}\Rightarrow x\in A\land x\in B^{C}\Rightarrow x\in A\land x\not \in B\Rightarrow x\in A\setminus B\Rightarrow A\cap B^{C}\subset A\setminus B}$.

• ${\displaystyle A\setminus B=A\setminus (A\cap B)}$
  • ${\displaystyle Tome\;x\in A\setminus B\Rightarrow x\in A\land x\not \in B\Rightarrow x\in A\land x\in B^{C}}$.
    • ${\displaystyle Como\;A\cap B\subset B\Rightarrow B^{C}\subset (A\cap B)^{C}}$. Logo ${\displaystyle x\in B^{C}\Rightarrow x\in (A\cap B)^{C}}$.
    • ${\displaystyle Portanto\;x\in A\land x\in B^{C}\Rightarrow x\in A\land x\in (A\cap B)^{C}\Rightarrow x\in A\cap (A\cap B)^{C}\Rightarrow x\in A\setminus (A\cap B)\Rightarrow A\setminus B\subset A\setminus (A\cap B)}$.
  • ${\displaystyle Tome\;x\in A\setminus (A\cap B)\Rightarrow x\in A\land x\not \in (A\cap B)\Rightarrow x\in A\land x\in (A\cap B)^{C}}$.
    • ${\displaystyle (A\cap B)^{C}=A^{C}\cup B^{C}.Logo\;x\in (A\cap B)^{C}\Rightarrow x\in A^{C}\cup B^{C}\Rightarrow x\not \in A\lor x\not \in B}$
    • ${\displaystyle Assim\;x\in A\land x\in (A\cap B)^{C}\Rightarrow x\in A\land (x\not \in A\lor x\not \in B)\Rightarrow (x\in A\land x\not \in A)\lor (x\in A\land x\not \in B)\Rightarrow (x\in A\land x\not \in B)\Rightarrow x\in (A\setminus B)\Rightarrow }$
    • ${\displaystyle \Rightarrow A\setminus (A\cap B)\subset A\setminus B}$.

• ${\displaystyle A,B\subset K;tal\;que\;A\cap B=\varnothing ,A\cup B=K\Rightarrow K-A=B\land K-B=A}$.

• ${\displaystyle A-A=\varnothing }$.
  • Suponha que ${\displaystyle A-A\neq \varnothing \Rightarrow \exists \;x\in A-A\Rightarrow \exists \;x\in A\;e\;x\not \in A}$. Mas isso é um absurdo. Um elemento pertence ou não a um conjunto, ele não pode pertencer e não pertencer.

• ${\displaystyle A\setminus B=\varnothing \Leftrightarrow A\subset B}$.
  • ${\displaystyle \Rightarrow :A\setminus B=\varnothing \Rightarrow \forall x\in A,x\in B\Rightarrow A\subset B}$.
  • ${\displaystyle \Leftarrow :Suponha\;que\;A-B\neq \varnothing \Rightarrow \exists \;x\in A\setminus B\Rightarrow \exists \;x\in A,x\not \in B.\;Absurdo,\;pois\;A\subset B,\Rightarrow \forall x\in A,x\in B}$.
• ${\displaystyle A-B=A\Leftrightarrow A\cap B=\varnothing }$.
  • ${\displaystyle \Rightarrow :A=A-B\Rightarrow A\subset A-B\Rightarrow \forall x\in A,x\in A-B\Rightarrow \forall x\in A,x\not \in B\Rightarrow A\cap B=\varnothing }$.
  • ${\displaystyle \Leftarrow :A\cap B=\varnothing \Rightarrow \forall x\in A,x\not \in B\Rightarrow \forall x\in A,x\in A-B\Rightarrow A\subset A-B}$.
    • ${\displaystyle \forall x\in A-B\Rightarrow x\in A,x\not \in B\Rightarrow A-B\subset A}$.
    • ${\displaystyle \therefore A=A-B}$.
• ${\displaystyle A-B=\varnothing =B-A\Leftrightarrow A=B}$.
  • ${\displaystyle \Rightarrow :A-B\subset B-A\Rightarrow \forall x\in A,x\in B\Rightarrow A=B}$.
  • ${\displaystyle \Leftarrow :A=B\Rightarrow \;dado\;x\in A-B,x\in A,x\not \in B\Rightarrow x\in B\;e\;x\not \in B\Rightarrow A-B=\varnothing }$. Analogamente ${\displaystyle B-A=\varnothing }$.

• ${\displaystyle A\setminus (B\setminus C)=(A\setminus B)\setminus C\Leftrightarrow A\cap C=\varnothing }$
  • ${\displaystyle A\setminus (B\setminus C)=A\setminus (B\setminus (B\cap C))=A\setminus (B\setminus ((B\cap C)\cap A)\cup ((B\cap C)\setminus A))=A\setminus (B\setminus ((A\cap B\cap C)\cup ((B\cap C)\setminus A)))=...}$ ${\displaystyle ...=\{x\in (A\setminus B)\cup (A\cap B\cap C)\}}$. Como ${\displaystyle A\cap B\cap C\subset A\cap C\subset A\Rightarrow A\setminus (B\setminus C)=\{x\in (A\setminus B)\cup (A\cap C)\}}$
  • ${\displaystyle (A\setminus B)\setminus C=(A\setminus B)\setminus (A\cap C)}$
  • ${\displaystyle \therefore A\setminus (B\setminus C)=((A\setminus B)\setminus C)\cup (A\cap C)}$

• Definição 1: ${\displaystyle A\Delta B=(A\cup B)\setminus (A\cap B)=\{x\in U;x\in A\cup B\;e\;x\not \in A\cap B\}}$
• Definição 2: ${\displaystyle A\Delta B=(A\setminus B)\cup (A\setminus B)}$

Teorema: Mostrar que ${\displaystyle (A\setminus B)\cup (B\setminus A)=(A\cup B)\setminus (A\cap B)}$

Prova:

• ${\displaystyle Tome\;x\in (A\setminus B)\cup (B\setminus A)\Rightarrow x\in (A\setminus B)\lor x\in (B\setminus A)\Rightarrow (x\in A\land x\not \in B)\lor (x\in B\land x\not \in A)\Rightarrow }$
  • ${\displaystyle \Rightarrow [(x\in A\land x\not \in B)\lor x\in B]\land [(x\in A\land x\not \in B)\lor x\not \in A]\Rightarrow [(x\in A\lor x\in B)\land (x\not \in B\lor x\in B)]\land [(x\in A\lor x\not \in A)\land (x\not \in B\lor x\not \in A)]\Rightarrow }$
  • ${\displaystyle \Rightarrow [(x\in A\lor x\in B)\land (x\not \in B\lor x\in B)]\land [(x\in A\lor x\not \in A)\land (x\not \in B\lor x\not \in A)]\Rightarrow }$
  • ${\displaystyle \Rightarrow [x\in (A\cup B)]\land [x\in B^{C}\lor x\in A^{C}]\Rightarrow [x\in (A\cup B)]\land [x\in (B^{C}\cup A^{C})]\Rightarrow [x\in (A\cup B)]\land [x\in (B\cap A)^{C}]\Rightarrow [x\in (A\cup B)]\land [x\not \in (B\cap A)]\Rightarrow }$
  • ${\displaystyle [x\in (A\cup B)\setminus (A\cap B)]}$
• ${\displaystyle \Rightarrow (A\setminus B)\cup (B\setminus A)\subset (A\cup B)\setminus (A\cap B)}$

Existe duas importantes propriedades usando união e intersecção, são elas:

• ${\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}$
  • ${\displaystyle \forall x\in A\cap (B\cup C)\Leftrightarrow x\in A\;e\;x\in B\cup C\Leftrightarrow x\in A\;e\;(x\in B\;ou\;x\in C)\Leftrightarrow }$ ${\displaystyle \Leftrightarrow (x\in A\;e\;x\in B)\;ou\;(x\in A\;e\;x\in C)\Leftrightarrow x\in A\cap B\;ou\;x\in A\cap C\Leftrightarrow x\in (A\cap B)\cup (A\cup C)}$
• ${\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)}$
  • ${\displaystyle \forall x\in A\cup (B\cap C)\Leftrightarrow x\in A\;ou\;x\in B\cap C\Leftrightarrow x\in A\;ou\;(x\in B\;e\;x\in C)\Leftrightarrow }$ ${\displaystyle \Leftrightarrow (x\in A\;ou\;x\in B)\;e\;(x\in A\;ou\;x\in C)\Leftrightarrow x\in A\cup B\;e\;x\in A\cup C\Leftrightarrow x\in (A\cup B)\cap (A\cap C)}$
• ${\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap C\Leftrightarrow A-C=\varnothing }$
  • ${\displaystyle \Rightarrow :A\cup (B\cap C)=(A-C)\cup (A\cap C)\cup (B\cap C)=(A-C)\cup ((A\cup B)\cap C)}$. Para satisfazer a hipótese temos que uma condição necessária seja a de que ${\displaystyle A-C=\varnothing }$.
  • ${\displaystyle Ao\;observar\;a\;igualdade\;A\cup (B\cap C)=(A-C)\cup ((A\cup B)\cap C)}$, que vimos ser verdadeira, percebermos que a nossa hipótese, ${\displaystyle A-C=\varnothing }$, é suficiente para dizermos que ${\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap C}$