Análise real/Números inteiros

A relação ~ em ${\displaystyle \mathbb {N} ^{2}}$ ao ser definida por:

• ${\displaystyle (a,b)\sim (c,d)\Leftrightarrow a+d=b+c}$

é uma relação de equivalência se, e somente se for:

• (reflexiva) ${\displaystyle \forall \;(a,b)\in \mathbb {N} ^{2}}$:
  • ${\displaystyle (a,b)\sim (a,b)\Leftrightarrow a+b=b+a}$
• (simétrica) ${\displaystyle \forall \;(a,b),(c,d)\in \mathbb {N} ^{2}}$:
  • ${\displaystyle (a,b)\sim (c,d)\Leftrightarrow a+d=b+c\Leftrightarrow d+a=c+b\Leftrightarrow (c,d)\sim (a,b)}$
• (transitiva) ${\displaystyle \forall \;(a,b),(c,d),(p,q)\in \mathbb {N} ^{2}}$:
  • ${\displaystyle (a,b)\sim (c,d)\;e\;(c,d)\sim (p,q)\Leftrightarrow a+d=b+c\;e\;c+q=d+p\Leftrightarrow a+d+c+q=b+c+d+p\Leftrightarrow a+q=b+p\Leftrightarrow (a,b)\sim (p,q)}$

Podemos dividir o conjunto de ${\displaystyle \mathbb {N} ^{2}}$ em partições disjuntas cuja união é o próprio ${\displaystyle \mathbb {N} ^{2}}$. Tome as partições da forma [1,n] ou [n,1]. Vamos usar a tricotomia entre 1 e n.

• caso n=1, eles coincidem com ${\displaystyle [(1,1)]=\{(a,b)\in \mathbb {N} ^{2}\}:(a,b)\sim (1,1)\}}$
• caso em que ${\displaystyle n\neq 1}$:
  • ${\displaystyle [(1,n)]=\{(a,b)\in \mathbb {N} ^{2}\}:(a,b)\sim (1,n)\}}$
  • ${\displaystyle [(n,1)]=\{(a,b)\in \mathbb {N} ^{2}\}:(a,b)\sim (n,1)\}}$
• Assim podemos dizer que ${\displaystyle \mathbb {N} ^{2}/\sim =\{[1,1]\}\cup \{x\in \mathbb {N} ^{2}:x=[(1,n)]:n\in \mathbb {N} \}\cup \{x\in \mathbb {N} ^{2}:x=[(n,1)]:n\in \mathbb {N} \}}$
• De forma geral dizemos que o conjunto quociente:
  • ${\displaystyle \mathbb {N} ^{2}/\sim \;=\{[(a,b)]\in \mathbb {N} ^{2}\}:(a,b)\in \mathbb {N} ^{2}\}}$

Ao somarmos dois elementos de ${\displaystyle \mathbb {N} ^{2}}$, o resultado deve ser um elemento do mesmo conjunto.

• ${\displaystyle \oplus :\mathbb {N} ^{2}\times \mathbb {N} ^{2}\mapsto \mathbb {N} ^{2}}$. Vamos definir A por:
  • ${\displaystyle [(a,b)]\oplus [(c,d)]=[(a+c,b+d)]}$.

Vamos mostrar que ${\displaystyle \oplus }$ é uma relação bem definida.

• Tome ${\displaystyle (a',b')\in [(a,b)]\;e\;(c',d')\in [(c,d)]\Rightarrow (a',b')\sim (a,b)\;e\;(c',d')\sim (c,d)\Rightarrow }$
  • ${\displaystyle \Rightarrow a'+b=b'+a\;e\;c'+d=d'+c\Rightarrow (a+c)+(b'+d')=(a'+c')+(b+d)\Rightarrow }$
  • ${\displaystyle \Rightarrow (a+c,b+d)\sim (a'+c',b'+d')\Rightarrow [(a+c,b+d)]=[(a'+c',b'+d')]}$
  • Ex. ${\displaystyle [(1,2)]\oplus [(3,4)]=[(1+3,2+4)]=[(4,6)]}$
    • ${\displaystyle (4,6)\sim (1,n)\Leftrightarrow 4+n=1+6\Leftrightarrow 4+n=4+3\Leftrightarrow n=3\Leftrightarrow (4,6)\sim (1,3)}$ Assim podemos já resolver equações do 1º grau ao igualarmos qualquer elemento de ${\displaystyle \mathbb {N} ^{2}}$ para a sua forma mais resumida (1,1), (1,n),(n,1).
• (exercício) Prove que ${\displaystyle (a,b)\sim y}$, onde ${\displaystyle y\in \{(1,x),(1,1),(x,1)\}}$ só haverá solução em ${\displaystyle \mathbb {N} ^{2}}$ se igualarmos a apenas um dos valores que y pode assumir.

Ao multiplicarmos dois elementos de ${\displaystyle \mathbb {N} ^{2}}$, o resultado deve ser um elemento do mesmo conjunto.

• ${\displaystyle \odot :\mathbb {N} ^{2}\times \mathbb {N} ^{2}\mapsto \mathbb {N} ^{2}}$. Vamos definir A por:
  • ${\displaystyle [(a,b)]\odot [(c,d)]=[(ac+bd,ad+bc)]}$.

Vamos mostrar que ${\displaystyle \odot }$ é uma relação bem definida.

• Tome ${\displaystyle (a',b')\in [(a,b)]\;e\;(c',d')\in [(c,d)]\Rightarrow (a',b')\sim (a,b)\;e\;(c',d')\sim (c,d)\Rightarrow }$
  • ... (exercício)
  • ${\displaystyle \Rightarrow (ac,bd)~(a'c',b'd')\Rightarrow [(ac,bd)]=[(a'c',b'd')]}$