Análise real/Isomorfismo

Podemos dividir um conjunto em suas partições disjuntas de forma que se unirmos tudo teremos novamente o conjunto:

• O conjunto dos inteiros pode ser dividido em dois grupos de mesma cardinalidade, o conjunto dos pares e dos impares, assim
  • Pares = {...,-4,-2,0,2,4,...}
  • Impares = {...,-5,-3,-1,1,3,5,...)}
  • ${\displaystyle \mathbb {Z} =Pares\cup Impares}$

Um subconjunto R de ${\displaystyle A^{2}}$ é uma relação de equivalência em A se, e somente se,

• ${\displaystyle (a,a)\in R,\forall \;a\in A}$
• ${\displaystyle (a,b)\in R,\rightarrow (b,a)\in R}$
• ${\displaystyle (a,b)\in R\;e\;(b,c)\in R\rightarrow (a,c)\in R}$

A relação binária ~ sobre A é uma relação de equivalência sobre A se:

• ${\displaystyle a\sim a,\forall a\in A}$ (reflexiva)
• ${\displaystyle a\sim b\rightarrow b\sim a}$ (simétrica)
• ${\displaystyle a\sim b\;e\;b\sim c\rightarrow c\sim a}$ (transitiva)

Seja A um conjunto e ~ uma relação de equivalência em A, então a classe de equivalência de a em A é o conjunto de todos os elementos que têm relação com a:

• ${\displaystyle [a]=\{x\in A:x\sim a\}}$.

Pares:

• ${\displaystyle [0]=\{x\in \mathbb {Z} :x\sim 0,se\;x-0=par\}}$
• ${\displaystyle [0]=\{...,-4,-2,0,2,4,...\}}$

Impares

• ${\displaystyle [1]=\{x\in \mathbb {Z} :x\sim 1,se\;x-1=impar\}}$
• ${\displaystyle [1]=\{...,-5,-3,-1,1,3,5,...\}}$

O conjunto das classes de equivalência de uma relação de equivalência ~ em A é chamado de conjunto quociente de A sobre ~, que será escrito como A/~.

Como vimos acima, foi definido no conjunto dos inteiros uma relação de equivalência separando o conjunto dos inteiros em duas partições tal que a união disjusta:

• ${\displaystyle Z/\sim =\{[0],[1]\}}$

• ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} =\{(a,b)\in \mathbb {N} ^{2}:a,b\in \mathbb {N} \}}$

Seja s a função das somas naturais onde s(a,b) é a soma entre a e b.

• ${\displaystyle s:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \setminus \{1\}\mapsto \mathbb {N} ,ondes(m,n)=m+n}$
  • Ex: ${\displaystyle s(1,1)=1+1=2}$

Seja d a função que multiplica dois naturais onde d(a,b) é a multiplicação entre a e b

• ${\displaystyle d:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \mapsto \mathbb {N} ,onde\;d(m,n)=m\cdot n}$
  • ${\displaystyle Ex:d(1,1)=1\cdot 1=2}$

• Consideremos uma aplicação ${\displaystyle \Psi :\mathbb {N} ^{2}\mapsto \mathbb {Z} }$.