Análise real/Indução(Problemas)

Mostrar que, para todo ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,4^{n}+6n-1}$ é divisível por 9.

Prova:

• Mostrar que é válido para n = 1, ${\displaystyle 4^{1}+6\cdot 1-1=4+6-1=9}$ e 9 é divisível por 9.
• Supor válido para n = k, ou seja, ${\displaystyle 4^{k}+6\cdot k-1=9t}$, para algum t natural. Também ${\displaystyle 4^{k}=9t-6\cdot k+1}$
• Mostrar válido para n = k+1, ou seja, ${\displaystyle 4^{k+1}+6\cdot (k+1)-1=9t'}$, para algum ${\displaystyle t'}$ natural.
  • ${\displaystyle 4^{k+1}+6\cdot (k+1)-1=_{1}4\cdot 4^{k}+6k+6-1=_{2}4\cdot (9t+1-6k)+6k+5=_{3}36t+4-24k+6k+5=_{4}36t-18k+9=_{5}9\cdot (4t-2k+1)}$
  • onde a igualdade 1 é pela propriedade de potência, a igualdade 2 é pela hipótese de indução, as igualdades 3 e 5 pela propriedade distributiva e a igualdade 4 pela soma dos termos.