Análise real/Exercícios 7

Problema 1

Considere a seguinte seqüência de funções ${\displaystyle f_{n}:\mathbb {R} _{+}^{*}\to \mathbb {R} \,}$ dada pela relação de recorrência:

${\displaystyle {\begin{array}{l}f_{1}(x)=x\\f_{n}(x)={\frac {1}{2}}\left[f(x)+{\frac {x}{f(x)}}\right]\,\end{array}}}$

Mostre que:

• ${\displaystyle f_{n}(x)\to {\sqrt {x}}}$ pontualmente
• ${\displaystyle f_{n}(x)\to {\sqrt {x}}}$ uniformemente em cada intervalo ${\displaystyle [a,b]\,}$ contanto que ${\displaystyle 0<a<b\,}$.
• a convergência não é uniforme em nenhum intervalo do tipo ${\displaystyle (0,a)\,}$ nem do tipo ${\displaystyle (a,\infty )\,}$ com ${\displaystyle a>0\,}$.

Problema 2

Considere a seqüência de funções indexada pelos índices ${\displaystyle n\,}$ e ${\displaystyle m\,}$:

• ${\displaystyle f_{mn}(x)=\cos ^{2n}(m!\pi x)~x\in \mathbb {R} ,~~n=1,2,3,\ldots \,}$

Mostre que:

• ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }f_{mn}(x)=\left\{{\begin{array}{rl}1,&x\in \mathbb {Q} \\0,&{\hbox{c.c.}}\end{array}}\right.}$

Problema 3

Considere a seqüência de funções ${\displaystyle f_{n}:[0,1]\to \mathbb {R} \,}$ definidas por:

• ${\displaystyle f_{n}=\left\{{\begin{array}{ll}n^{2}x,&x\in [0,1/n]\\2n-n^{2}x,&x\in (1/n,2/n)\\0,&x\in [2/n,1]\end{array}}\right.}$

Mostre que

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=0\,}$

não obstante

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{0}^{1}f_{n}(x)dx=1/2\,}$

Problema 4

Defina ${\displaystyle f_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \,}$ como:

• ${\displaystyle f_{n}=\left\{{\begin{array}{ll}1/n,&x\in |x|<n\\0,&x\in |x|\geq n\\\end{array}}\right.}$

Mostre que

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=0\,}$ uniformemente

não obstante

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{0}^{1}f_{n}(x)dx=2\,}$

Problema 5

Seja a seqüência de funções ${\displaystyle f_{n}:[0,\infty )\to \mathbb {R} \,}$ dada por:

• ${\displaystyle f_{n}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}\left(1-{\frac {x}{n}}\right)^{n},&x\in [0,n]\\0,&x\in (n,\infty )\end{array}}\right.}$

Mostre que:

• ${\displaystyle 0\leq f_{n}(x)\leq e^{-x}\,}$
• ${\displaystyle f_{n}(x)\to e^{-x}\,}$ uniformemente em ${\displaystyle [0,M]\,}$ para cada ${\displaystyle M>0\,}$

Conclua, provando que:

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{0}^{n}\left(1-{\frac {x}{n}}\right)^{n}=1\,}$

Problema 6

Construa uma seqüência de funções contínuas em ${\displaystyle [0,1]\,}$ convergindo pontualmente para um função que não é integrável à Riemann.