Análise real/Espaços métricos

Um espaço métrico (X,d) é um conjunto X dotado de uma função ${\displaystyle d:X^{2}\to \mathbf {R} \,}$ chamada métrica ou distância que associa a cada par de elementos de X uma distância entre eles. Esta distância deve satisfazer os seguintes axiomas:

• ${\displaystyle d(x,y)\,}$ é um número real, não negativo e finito
• ${\displaystyle d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y}$
• ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)\,}$ (simetria)
• ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$ (desigualdade triangular)

• O espaço vetorial euclidiano ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},d)}$, onde ${\displaystyle d((x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n}))={\sqrt {(y_{1}-x_{1})^{2}+\cdots +(y_{n}-x_{n})^{2}}}}$, é um espaço vetorial de dimensão ${\displaystyle n\,}$
  • É importante notar que a distância acima definida não é a única que satisfaz os axiomas de espaço métrico; porém, pela sua importância, ela é considerada a métrica canônica no ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\,}$. Outras métricas são:
  • ${\displaystyle d((x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n}))=\max(|y_{1}-x_{1}|,\cdots ,|y_{n}-x_{n}|)}$
  • ${\displaystyle d((x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n}))=|y_{1}-x_{1}|+\cdots +|y_{n}-x_{n}|}$

• ${\displaystyle (X,d)\,}$, onde ${\displaystyle d(x,y)=\left\{{\begin{matrix}0,&{\mbox{se }}x=y\\1,&{\mbox{se }}x\neq y\end{matrix}}\right.}$ é denominado de espaço métrico discreto.

• Qualquer subconjunto de um espaço métrico é um espaço métrico (para a mesma distância)

Diz-se que uma sequência de pontos ${\displaystyle x_{n}\in X\,}$ converge para um ponto ${\displaystyle x\in X\,}$ se e somente se:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }d(x,x_{n})=0\,}$

Diz-se que uma sequência de pontos ${\displaystyle x_{n}\in X\,}$ é de Cauchy se para todo ${\displaystyle \varepsilon >0\,}$, existe um N tal que

${\displaystyle d(x_{n},x_{m})<\varepsilon ,\forall n,m>N\,}$

Proposição: toda sequência convergente é de Cauchy.

Um espaço métrico é dito completo se todo sequência de Cauchy é convergente.

Teorema: Um subconjunto fechado de um espaço métrico completo é um espaço métrico completo.

Espaço métrico (topologia)