Análise real/Convergência pontual

O conceito de convergência de funções é fundamental para a análise real. O critério de convergência pontual, também chamado de convergência ponto a ponto ou convergência simples é um dos muitos critérios diferentes de convergências para uma família de funções.

Seja ${\displaystyle D\in \mathbb {R} }$ um conjunto e ${\displaystyle f_{n}:D\to \mathbb {R} \,}$ uma seqüência de funções reais definidas no domínio ${\displaystyle D\,}$.

Diz que ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }\,}$ converge quando existe uma função ${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} \,}$ tal que para cada ponto ${\displaystyle x\in D\,}$ a seqüência numérica ${\displaystyle f_{n}(x)\,}$ converge para ${\displaystyle f(x)\,}$. Ou, na notação de limites:

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x),~~\forall x\in D\,}$

Equivalentemente, diz-se que ${\displaystyle \{f_{n}\}\,}$ converge para ${\displaystyle f\,}$ em ${\displaystyle D\,}$ se para todo ${\displaystyle \varepsilon >0\,}$ e todo ${\displaystyle x\in D\,}$ existe um ${\displaystyle N\,}$ tal que

• ${\displaystyle \left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon ,~~\forall n\geq N\,}$

Seja a seguinte seqüência de funções:

• ${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {x}{n}},~x\in \mathbb {R} ,~~n=1,2,3,\ldots \,}$

É fácil ver que:

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=0}$

Deve-se observar que o limite pontual de funções contínuas não é necessariamente uma função contínua. Um exemplo deste fenômeno pode ser observado na seguinte seqüência de funções:

• ${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {1}{1+|x|^{n}}},~x\in \mathbb {R} ,~~n=1,2,3,\ldots \,}$

cujo limite é dado por:

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=\left\{{\begin{array}{rl}1,&|x|<1\\1/2,&|x|=1\\0,&|x|>1\end{array}}\right.}$

Algumas seqüências de funções podem ter um comportamento bastante peculiar, como a seguinte:

• ${\displaystyle f_{n}(x)=\cos ^{2n}(m!\pi x)~x\in \mathbb {R} ,~~n=1,2,3,\ldots \,}$

cujo limite é dado por:

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=\left\{{\begin{array}{rl}1,&m!x\in \mathbb {Z} \\0,&{\hbox{c.c.}}\end{array}}\right.}$

Veja mais um exemplo peculiar de convergência:

• ${\displaystyle f_{n}(x)=\left\{{\begin{array}{rl}0,x<n\\1,x\geq n\end{array}}\right.}$