Análise real/AplicaçãodeFunções

A projeção de um plano cartesiano é o conjunto de pontos retirando uma das coordenadas.

Ex.: Seja A x B um plano cartesiano tal que ${\displaystyle A\times B=\{(a,b);a\in A,b\in B\}}$. Aqui podemos fazer duas projeções:

• ${\displaystyle \pi _{1}:A\times B\mapsto A;\pi _{1}(a,b)=a}$
• ${\displaystyle \pi _{2}:A\times B\mapsto B;\pi _{2}(a,b)=b}$

Ex.: Seja A x B X C um plano cartesiano tal que ${\displaystyle A\times B\times C=\{(a,b,c);a\in A,b\in B,c\in C\}}$. Aqui podemos fazer seis projeções:

• ${\displaystyle \pi _{1}:A\times B\times C\mapsto A;\pi _{1}(a,b,c)=a}$.
• ${\displaystyle \pi _{2}:A\times B\times C\mapsto B;\pi _{2}(a,b,c)=b}$.
• ${\displaystyle \pi _{3}:A\times B\times C\mapsto C;\pi _{3}(a,b,c)=c}$.
• ${\displaystyle \pi _{4}:A\times B\times C\mapsto A\times B;\pi _{4}(a,b,c)=(a,b)}$.
• ${\displaystyle \pi _{5}:A\times B\times C\mapsto A\times C;\pi _{5}(a,b,c)=(a,c)}$.
• ${\displaystyle \pi _{6}:A\times B\times C\mapsto B\times C;\pi _{6}(a,b,c)=(b,c)}$.

Consideremos um Retângulo de vértices ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{1}),(x_{1},y_{2}),(x_{2},y_{2}),{\mbox{ tais que }}x_{1}<x_{2}{\mbox{ e }}y_{1}<y_{2}}$. Assim sua área é dada pela função ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\mapsto \mathbb {R} ^{+};f(x_{1},x_{2},y_{1},y_{2})=(x_{2}-x_{1})\cdot (y_{2}-y_{1})}$

Essa função não é injetiva, pois dado ${\displaystyle x_{3}=x_{1}+2,x_{4}=x_{2}+2,y_{3}=y_{1},y_{4}=y_{2}\Rightarrow f(x_{3},x_{4},y_{3},y_{4})=(x_{2}-x_{1})\cdot (y_{2}-y_{1})=f(x_{1},x_{2},y_{1},y_{2})}$ sendo que ${\displaystyle x_{3}\neq x_{1}{\mbox{ e }}x_{4}\neq x_{2}}$

Essa função é sobrejetiva pois dado um ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{+},{\mbox{ temos que }}f(0,{\sqrt {A}},0,{\sqrt {A}})=({\sqrt {A}}-0)\cdot ({\sqrt {A}}-0)=A}$

Consideremos um Triângulo de vértices ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{1}),(x_{3},y_{2}),{\mbox{ tais que }}x_{1}<x_{2},{\mbox{ e }}y_{1}<y_{2}}$. Assim sua área é dada pela função ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{2}\mapsto \mathbb {R} ^{+};f(x_{1},x_{2},x_{3},y_{1},y_{2})={(x_{2}-x_{1})\cdot (y_{2}-y_{1}) \over 2}}$

Essa função não é injetiva, pois dado ${\displaystyle x_{4}=x_{1}+2,x_{5}=x_{2}+2,y_{3}=y_{1},y_{4}=y_{2}\Rightarrow f(x_{3},x_{4},x_{5},y_{3},y_{4})={(x_{2}-x_{1})\cdot (y_{2}-y_{1}) \over 2}=f(x_{1},x_{2},x_{3},y_{1},y_{2})}$ sendo que ${\displaystyle x_{4}\neq x_{1}{\mbox{ e }}x_{5}\neq x_{2}}$

Essa função é sobrejetiva pois dado um ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{+},{\mbox{ temos que }}f(0,{\sqrt {2A}},x_{3},0,{\sqrt {2A}})={({\sqrt {2A}}-0)\cdot ({\sqrt {2A}}-0) \over 2}=A}$

Consideremos um Triângulo de vértices ${\displaystyle (0,x),(2,0),(0,0),{\mbox{ tais que }}x>0}$. Assim sua área é dada pela função ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{+}\mapsto \mathbb {R} ^{+};f(x)=x}$

Essa função é injetiva, pois dado ${\displaystyle x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})}$.

Essa função é sobrejetiva pois dado um ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{+},{\mbox{ temos que }}x_{Im}=f(x)=x_{D}}$.