Análise real/2Funções

Sejam ${\displaystyle f:A\mapsto B\;e\;g:C\mapsto D}$ duas funções. Dizemos que f e g são iguais se

• são dadas pela mesma regra de associação, ou seja, se ${\displaystyle f(x)=g(x),\forall x\in A,C}$.
• "A = C": A condição acima só tem sentido (podendo ser falsa) se f e g tiverem o mesmo domínio (no caso A=C).
• "B = D": E também é indispensável que f e g tenham o mesmo contradomínio.

Por esta razão, podemos considerar iguais duas funções de contradomínios diferentes. Mais delicado é considerar que funções de domínios diferentes sejam iguais. Entretanto, cometemos este abuso quando, por exemplo, o domínio de uma função contém o domínio da outra. Quando a prudência mandar, devemos lidar com os conceitos de restrição e extensão.

Sejam ${\displaystyle f:A\mapsto B\;e\;g:C\mapsto D}$. Dizemos que f é uma restrição de g ou que g é uma extensão de f se ${\displaystyle A\subset C\;e\;f(x)=g(x),\forall \;x\in A}$. Neste caso escrevemos ${\displaystyle f=g|A}$.

Sejam ${\displaystyle f:A\mapsto B\;e\;g:C\mapsto D}$ tais que ${\displaystyle f(A)\subset C}$.

Definimos a função composta ${\displaystyle g\circ f:A\mapsto D}$ que a cada ${\displaystyle x\in A}$ associa ${\displaystyle z=g(f(x))\in D}$.

• BEM ENCAIXADOS: A definição anterior faz sentido pois dado ${\displaystyle x\in A}$ temos que ${\displaystyle y=f(x)\in f(A),como\;f(A)\subset C}$ temos ${\displaystyle y=f(x)\in C}$. Neste caso podemos aplicar g e encontrar ${\displaystyle z=g(y)=g(f(x))\in D}$.
  • Na prática é assim: ${\displaystyle Dado\;x\in A,(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(y)=z,onde\;y=f(x)}$.
• ${\displaystyle B\not \subset C}$ não atrapalha a composição. Suponha ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \mapsto \mathbb {Z} ,f(x)=2x\;e\;g:2\mathbb {Z} \mapsto \mathbb {Z} ,g(y)=3y.}$ Observamos que ${\displaystyle \mathbb {Z} \not \subset 2\mathbb {Z} ,mas\;f(\mathbb {Z} )\subset 2\mathbb {Z} }$. Portanto a função composição é possível.
• ASSOCIATIVA: Observamos ainda que a operação de composição de funções é associativa, i.e., se ${\displaystyle f:A\mapsto B,g:C\mapsto D\;e\;h:E\mapsto F\;com\;f(A)\subset C\;e\;g(C)\subset E}$, então temos que ${\displaystyle ((h\circ g)\circ f)(x)=(h\circ (g\circ f))(x)=h(g(f(x))),\forall x\in A}$.
• Para ${\displaystyle f:A\mapsto A}$ definimos ${\displaystyle f^{n}:A\mapsto A}$ por ${\displaystyle f^{n}=\underbrace {f\circ ...\circ f} _{nvezes}}$.

Seja ${\displaystyle f:A\mapsto B}$.

Definimos ${\displaystyle g:f(A)\mapsto A,g=f^{-1},y\in f(A),\exists x\in A;g(f(x))=x,\forall x\in A}$.

• ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \mapsto \mathbb {N} ,com\;f(x)=x^{2}\;e\;g:f(\mathbb {Z} )\mapsto \mathbb {Z} ,com\;g(y)={\sqrt {y}},y=f(x)}$. Assim ${\displaystyle g(y)=g(f(x))=g(x^{2})={\sqrt {(}}x^{2})=x}$.
  • Exemplo ${\displaystyle f(4)=16\;e\;g(16)=4}$.
• Sejam ${\displaystyle f:A\mapsto B{\mbox{ e }}g:B\mapsto A}$ tais que ${\displaystyle (g\circ f)(x)=x,\forall x\in A{\mbox{ e }}(f\circ g)(y)=y,\forall y\in B}$. Dizemos que f é invertível, que g é a inversa de f e escrevemos ${\displaystyle g=f^{-1}}$.
• Não devemos confundir ${\displaystyle f^{-1}}$ da definição acima com ${\displaystyle {\tilde {f}}^{-1}}$. Sempre que aplicamos ${\displaystyle f^{-1}}$ em conjuntos está subentendido que trata-se da imagem inversa. Quando se aplica ${\displaystyle f^{-1}}$ num elemento y, pode-se entender como ${\displaystyle f^{-1}(y)}$, caso a inversa exista, ou ${\displaystyle {\tilde {f}}^{-1}(\{y\})}$, a imagem inversa de um conjunto unitário.
• Repare que intercambiando f com g, A com B e x com y as hipóteses da definição de função inversa não mudam, porém a conclusão dirá que f é a inversa de g. Concluímos que f é a inversa de g se, e somente se, g é a inversa de f. Se ${\displaystyle f:A\mapsto B}$ é injetiva, então mesmo quando ela não for sobrejetiva, ainda poderemos considerar sua função inversa ${\displaystyle f^{-1}}$ ficando subentendido que o domínio de ${\displaystyle f^{-1}}$ é f(A) (e não B). Desta forma ${\displaystyle (f^{-1}\circ f)(x)=x,\forall x\in A{\mbox{ e }}(f\circ f^{-1})(y)=y\forall y\in f(A)}$.