Álgebra linear/Produto interno

Em Álgebra linear, chamamos de produto interno uma função de dois vetores que satisfaz determinados axiomas. O produto escalar, comumente usado na geometria euclidiana, é um caso especial de produto interno.

Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Em V, pode-se definir a função binária ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\rightarrow K}$ (denominada produto interno), que satisfaz os seguintes axiomas:

${\displaystyle \langle u,v\rangle ={\overline {\langle v,u\rangle }}}$

${\displaystyle \langle u+v,w\rangle =\langle u,w\rangle +\langle v,w\rangle }$

${\displaystyle \langle \lambda u,v\rangle =\lambda \langle u,v\rangle }$

Se ${\displaystyle v\neq 0}$, então ${\displaystyle \langle v,v\rangle }$> ${\displaystyle 0}$

em que u, v e w são vetores de V, e λ é um elemento de K.

A partir desses axiomas, é possível provar as seguintes consequências:

${\displaystyle \langle u,v+w\rangle =\langle u,v\rangle +\langle u,w\rangle }$

${\displaystyle \langle u,\lambda v\rangle ={\overline {\lambda }}\langle u,v\rangle }$

Se ${\displaystyle v=0}$, então ${\displaystyle \langle v,v\rangle =0}$

Se ${\displaystyle \langle v,v\rangle =0}$, então ${\displaystyle v=0}$

O produto escalar sobre o espaço vetorial ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ satisfaz os axiomas do produto interno e é definido por:

${\displaystyle \langle (x_{1},y_{1},z_{1}),(x_{2},y_{2},z_{2})\rangle =x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}}$

Se f e g são duas funções contínuas em um intervalo fechado, é possível definir o produto interno:

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int f(x){\overline {g(x)}}\,dx}$

Diz-se que dois vetores ${\displaystyle u,v\in V}$ são ortogonais se ${\displaystyle \langle u,v\rangle =0}$.

Consequências (prove!):

Se ${\displaystyle \langle u,v\rangle =0,\forall v\in V}$, então ${\displaystyle u=0}$

Se ${\displaystyle \langle T(u),v\rangle =0,\forall u,v\in V}$, então ${\displaystyle T=0}$

Seja ${\displaystyle v\in V,v\neq 0}$

Define-se o complemento ortogonal de v, ${\displaystyle v^{\perp }}$, como:

${\displaystyle v^{\perp }=\{v\}^{\perp }=\{u\in V|\langle u,v\rangle =0\}.}$

Consequências (prove!):

${\displaystyle v^{\perp }}$ é um subespaço vetorial de V

Seja ${\displaystyle W}$ um subespaço vetorial de V, e ${\displaystyle \alpha =\{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\}}$ uma base de ${\displaystyle W}$. ${\displaystyle v\in W^{\perp }\iff v\in v_{i}^{\perp },i=1,\ldots ,n}$

${\displaystyle (W^{\perp })^{\perp }=W}$, W é subespaço de V.

Seja V um espaço vetorial sobre o corpo K, com produto interno. Define-se a norma ou comprimento de um vetor ${\displaystyle v\in V}$ como sendo o número ${\displaystyle {\sqrt {\langle v,v\rangle }}}$, que indicamos por ${\displaystyle |v|}$.

Consequências (prove!):

${\displaystyle |v|=0\Longleftrightarrow v=0}$

Se ${\displaystyle v\neq 0}$, então ${\displaystyle |v|>0}$

${\displaystyle |\lambda v|=|\lambda ||v|,\forall \lambda \in K,v\in V}$

Se ${\displaystyle \langle u,v\rangle =0}$, então ${\displaystyle |u+v|^{2}=|u|^{2}+|v|^{2}}$ (Teorema de Pitágoras)

Define-se essa projeção como sendo o vetor

${\displaystyle {\mbox{proj}}_{u}v={\frac {\langle v,u\rangle }{\langle u,u\rangle }}\cdot u}$

Seja ${\displaystyle W=[u_{1},u_{2}]}$, em que ${\displaystyle \{u_{1},u_{2}\}}$ é uma base ortogonal de W.

${\displaystyle {\mbox{proj}}_{W}v={\mbox{proj}}_{u_{1}}v+{\mbox{proj}}_{u_{2}}v}$

Dados ${\displaystyle u,v\in V}$, então ${\displaystyle |\langle u,v\rangle |\leq |u|\cdot |v|}$

${\displaystyle |u+v|\leq |u|+|v|,\forall u,v\in V}$

Uma base ${\displaystyle \{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\}}$ de V é dita ortonormal se ${\displaystyle \langle v_{i},v_{j}\rangle =\delta ij}$, em que

${\displaystyle \delta ij=1}$, se i = j

${\displaystyle \delta ij=0}$, se i ≠ j

A base é ortogonal se os vetores são ortogonais dois a dois.

v1.v2=0

Propriedade: n vetores não-nulos e ortogonais dois a dois, em um espaço de dimensão n, são linearmente independentes.

Dada uma base ${\displaystyle \{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\}}$ de V, podemos encontrar, a partir desta base, uma base ortogonal ${\displaystyle \{u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}\}}$ de V.

${\displaystyle u_{i}=v_{i}-\sum _{k=1}^{i-1}{\frac {\langle v_{i},u_{k}\rangle }{\langle u_{k},u_{k}\rangle }}u_{k}}$

Define-se a distância entre dois vetores quaisquer, u e v, como sendo ${\displaystyle d(u,v)=|u-v|}$

Uma função distância tem as seguintes propriedades:

${\displaystyle d(u,v)\geq 0}$

${\displaystyle \quad d(u,v)=0\Leftrightarrow u=v}$

${\displaystyle d(u,v)=d(v,u)}$

${\displaystyle d(u,v)\leq d(u,w)+d(w,v)}$

Tais propriedades podem ser facilmente verificadas pela definição de norma.

Se ${\displaystyle d(v,u)\leq d(v,u'),\forall u'\in W}$, então u é o vetor de W que dá a aproximação mais adequada de v por um vetor de W.

Demonstra-se que ${\displaystyle u=proj_{W}v}$