Álgebra abstrata/Conjuntos

O objetivo deste livro não é estudar a Teoria dos Conjuntos; este estudo pode ser feito de forma elementar (ou ingênua), de forma axiomática, ou mesmo de forma avançada (que é a análise dos próprios axiomas, verificando independência, completude e consistência).

Uma versão elementar está incluída no livro Matemática elementar: Matemática elementar/Conjuntos.

A teoria axiomática dos conjuntos (algumas vezes chamada de teoria ingênua dos conjuntos) está no livro Teoria dos conjuntos.

A Teoria dos Conjuntos é essencial para aprender Álgebra. O que se segue é um resumo da teoria, apenas alguns conceitos, mas será o suficiente para começarmos a estudar álgebra.

Conjunto é uma coleção de objetos

• Ex: ${\displaystyle A=\{1,2,3\}\;}$, ${\displaystyle B=\{azul,amarelo,verde\}\;}$
  • ${\displaystyle A\;}$ é uma coleção de números, ${\displaystyle B\;}$ é uma coleção de cores ${\displaystyle \;}$
  • Logo ${\displaystyle A\;e\;B}$ são conjuntos

Seja ${\displaystyle X\;}$ um conjunto:

• ${\displaystyle Se\;x\in X}$, significa que ${\displaystyle x\;}$ é um elemento de ${\displaystyle X\;}$.
• ${\displaystyle Se\;x\not \in X}$, significa que ${\displaystyle x\;}$ não é um elemento de ${\displaystyle X\;}$.

Um subconjunto ${\displaystyle Y\;}$ é parte de certa coleção ${\displaystyle X\;}$.

• Ex: ${\displaystyle X=\{x\in \mathbb {R} ;\;x>2\},Y=\{y\in \mathbb {R} ;\;4<y<10\}}$
  • Assim ${\displaystyle y\in X,\forall \;y\in Y}$, isto é, todo elemento que pertence a ${\displaystyle Y\;}$, pertence a ${\displaystyle X\;}$, por isso dizemos que ${\displaystyle Y\;}$ é subconjunto de ${\displaystyle X\;}$.
• Mais formalmente, se ${\displaystyle y\in Y\Rightarrow y\in X}$, logo ${\displaystyle Y\subset X\Leftrightarrow X\supset Y}$

${\displaystyle Y\subset X}$ é a inclusão dos elementos de ${\displaystyle Y\;a\;X}$, e lê-se ${\displaystyle Y\;}$ está contido em ${\displaystyle X\;}$.

• ${\displaystyle Y=X\Leftrightarrow Y\subset X\;e\;X\subset Y}$
• Subconjunto próprio: ${\displaystyle Y\;}$ é subconjunto próprio de ${\displaystyle X\Leftrightarrow Y\neq X}$
  • Isto é, ${\displaystyle Y\subset X,mas\;X\not \subset Y}$

Um conjunto que não têm elementos é chamado de conjunto nulo e representado pelo símbolo ${\displaystyle \varnothing }$

• O ${\displaystyle \varnothing \subset X}$, isto é, o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.
• Às vezes é chamado de conjunto vazio.

É comum definirmos um conjunto usando alguma propriedade:

• ${\displaystyle Seja\;X\subset K,X=\{x\in K;x\;goza\;da\;propriedade\;P\}}$
• Ex: ${\displaystyle K=\{...,-3,-2,-1,0,1,...\},X=\{x\in K;x>0\}=\{1,2,3,4,...\}}$
  • Veremos mais para frente que K é o conjunto dos inteiros e que X é o conjunto dos naturais

A união de dois conjuntos é a reunião dos seus elementos, se algum elemento estiver repetido na inclusão, será contado uma única vez, assim:

• ${\displaystyle Seja\;A,B\subset K,A\cup B=\{x\in K;x\in A\;ou\;x\in B\}}$
  • Veremos mais para frente que ${\displaystyle A\cup B=(A-B)\cup (B-A)\cup (A\cap B)}$ ao qual são três conjuntos disjuntos

Exemplos:

• ${\displaystyle A\cup A=A}$
• ${\displaystyle A\cup B=A\Leftrightarrow B\subset A}$

A intersecção de dois conjuntos é a reunião dos elementos que estão em ambos, assim:

• ${\displaystyle Seja\;A,B\subset K,A\cap B=\{x\in K;x\in A\;e\;x\in B\}}$

Exemplos:

• ${\displaystyle A\cap A=A}$
• ${\displaystyle A\cap B=B\Leftrightarrow B\subset A}$

Dois conjuntos são disjuntos quando a intersecção dos conjuntos é o conjunto vazio, ou seja, quando seus elementos são distintos.

• ${\displaystyle Seja\;A,B\subset K,A\cap B=\varnothing \Rightarrow A,B}$ são disjuntos.

Exemplos:

• ${\displaystyle A\cap A=A}$. Logo A não é disjunto dele próprio.
• ${\displaystyle A\cap B=B}$. Logo A,B não são disjuntos.
• ${\displaystyle Seja\;A=\{...,-4,-3,-2,-1\},B=\{1,2,3,4,...\};A\cap B=\varnothing }$. Logo A,B são disjuntos.

A diferença de dois conjuntos é a exclusão dos elementos do segundo conjunto que estão no primeiro, assim:

• ${\displaystyle Seja\;A,B\subset K,A-B=\{x\in K;x\in A\;e\;x\not \in B\}}$.

Exemplos:

• ${\displaystyle A-A=\varnothing }$.
• ${\displaystyle A-B=A\Leftrightarrow A\cap B=\varnothing }$.
  • ${\displaystyle Seja\;A=\{...,-4,-3,-2,-1\},B=\{1,2,3,4,...\};Como\;A\cap B=\varnothing \Rightarrow A-B=A}$.
• ${\displaystyle Seja\;A,B\subset K;A\cap B=\varnothing ;A\cup B=K\Rightarrow K-A=B;K-B=A}$.

É um modo diferente de ver a diferen~ça de dois conjuntos

• ${\displaystyle Seja\;A,B\subset K;A\cup B=K\Rightarrow A-B=\complement _{A}B=K-B=\complement _{K}B}$.

Existe duas importantes propriedades usando união e intersecção, são elas:

1. ${\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}$
2. ${\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)}$

Um subconjunto importante é o ${\displaystyle I_{n}=\left\{p\in \mathbb {N} ,1\leq p\leq n\right\}}$ ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} }$, pois através deles conseguimos contar elementos de um conjunto.

• Exemplo: ${\displaystyle I_{5}=\{1,2,3,4,5\}}$

A função sucessão é dada por ${\displaystyle S(n)=n+1;\forall n\in \mathbb {N} }$

1. (Identidade) A função de sucessão ${\displaystyle s:\mathbb {N} \mapsto \mathbb {N} }$ é injetiva
   • Dados ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} ,s(m)=s(n)\Rightarrow m=n}$
2. (Menor Elemento) Existe um elemento que não é sucessor de nenhum outro: 1
   • Logo ${\displaystyle \not \exists m}$ tal que s(m)=1
   • (unicidade) ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow s(n)\in \mathbb {N} }$
     • Seja ${\displaystyle m,n,p\in \mathbb {N} ;s(n)=p+1;s(m)=p+1}$, para cada fator temos que n=p e m=p; por transitividade n=m. Logo o sucessor de um número é único
3. (Princípio da Indução) Seja ${\displaystyle X\subset \mathbb {N} }$ um conjunto com as seguintes propriedades: ${\displaystyle 1\in X}$; Se ${\displaystyle k\in X}$ então ${\displaystyle k+1\in X}$. Então ${\displaystyle X=\mathbb {N} }$

Todo subconjunto não-vazio ${\displaystyle A\subset \mathbb {N} }$ possui um elemento mínimo.

• Devemos mostrar o complementar de ${\displaystyle A}$ em relação ao ${\displaystyle \mathbb {N} }$ assim ${\displaystyle B\subset \mathbb {N} -A}$
  • Tomemos um subconjunto ${\displaystyle \mathbb {N} }$ : ${\displaystyle B}$ formado pelos elementos que não estão em ${\displaystyle A\;}$, ou seja, ${\displaystyle B=\{x\in \mathbb {N} /x\not \in A\}}$.
• a quem pertence o elemento ${\displaystyle 1}$
  • Se ${\displaystyle 1\in A}$ o teorema está demonstrado, pois ${\displaystyle 1}$ é o menor elemento do ${\displaystyle \mathbb {N} }$.
  • Se ${\displaystyle 1\not \in A,}$ logo ${\displaystyle 1\in B}$
• O conjunto ${\displaystyle I_{n}\;}$
  • Agora tomemos um subconjunto de ${\displaystyle B\;}$, chamado ${\displaystyle I_{n}=\{1,2,...n\}\;}$ onde n é o maior natural tal que aconteça isso, assim ${\displaystyle 1\not \in A,2\not \in A,...,n\not \in A}$
• mostrar que ${\displaystyle n+1\in A}$
  • Pela construção do conjunto ${\displaystyle I_{n}\;}$, temos que ${\displaystyle n\in I_{n}}$. Se ${\displaystyle n+1\in B}$, teríamos ${\displaystyle n+1\in I_{n}}$ e logo ${\displaystyle I_{n+1}\;}$. Como não faz sentido, logo ${\displaystyle n+1\not \in B}$, portanto ${\displaystyle n+1\in A}$
• Devemos mostrar que ${\displaystyle n+1\;}$ é o menor elemento de ${\displaystyle A\;}$
  • Como todos os antecessores de ${\displaystyle n+1\;}$ são os elementos de ${\displaystyle I_{n}\;}$, temos que ${\displaystyle n+1\;}$ é o menor elemento de ${\displaystyle A\;}$, pois os elementos menores que ${\displaystyle n+1\;}$ estão em ${\displaystyle B\;}$

Um conjunto X é finito quando assume uma das opções abaixo:

• quando ele é vazio. (Neste caso o conjunto têm 0 elementos)
• quando existe uma bijeção entre ${\displaystyle I_{n}}$ e ${\displaystyle X}$. (Neste caso o conjunto têm n elementos)
  • escreve-se ${\displaystyle f_{bij}:I_{n}\mapsto X}$.

Concluímos que:

• todo conjunto ${\displaystyle I_{n}}$ é finito.
• Que uma função bijeção entre dois conjuntos ocorre somente quando eles possuem a mesma quantidade de elementos
• Numa bijeção, se um conjunto é finito, o outro também o é.

Quando o conjunto X não é finito (ou seja, não atende os requisitos para ser finito), o chamamos de infinito.

Seja ${\displaystyle A\subset I_{n}}$. Se existir uma bijeção ${\displaystyle f:I_{n}\mapsto A,}$ então ${\displaystyle A=I_{n}}$.

• o fato de ${\displaystyle A}$ ser um subconjunto de ${\displaystyle I_{n}}$ nos diz que
  • ${\displaystyle A}$ têm no máximo os mesmos elementos de ${\displaystyle I_{n}}$
  • ${\displaystyle A}$ têm no máximo n elementos.
• Se ${\displaystyle I_{n}\mapsto A}$ é uma bijeção, pela definição de finito, temos que A têm a mesma quantidade de elementos de ${\displaystyle I_{n}}$.
• Juntando os dois fatos (o fato de ${\displaystyle A}$ ter a mesma quantidade de elementos de ${\displaystyle I_{n}}$ e que esses elementos são no máximo os elementos de ${\displaystyle I_{n}}$) temos que ${\displaystyle A=I_{n}}$.

Se existir uma bijeção ${\displaystyle f:I_{m}\mapsto I_{n}}$ então ${\displaystyle m=n}$. Consequentemente, se existem duas bijeções ${\displaystyle f:I_{m}\mapsto X}$ e ${\displaystyle f:I_{n}\mapsto X}$, logo ${\displaystyle m=n}$.

• o teorema 2 nos diz que seja ${\displaystyle A\subset I_{n}}$ e se existir uma ${\displaystyle f_{bij}:I_{n}\mapsto X}$, temos que ${\displaystyle I_{n}=A}$
  • Logo devemos supor que ${\displaystyle I_{m}\subset I_{n}}$ (neste caso estamos supondo que ${\displaystyle m\leq n}$), e essa suposição é válida pois se fosse ${\displaystyle m>n}$ não teríamos uma bijeção
• Pelo teor 2, ${\displaystyle I_{m}=I_{n}}$ ao qual ${\displaystyle \Rightarrow m=n}$

Não pode existir uma ${\displaystyle f_{bij}:X\mapsto Y}$ de um conjunto finito sobre uma parte própria ${\displaystyle Y\subset X}$

Se ${\displaystyle X}$ é um conjunto finito então todo subconjunto ${\displaystyle Y\subset X}$ é finito. O número de elementos de Y não excede o de X e só é igual quando Y = X.

Seja ${\displaystyle f:X\mapsto Y}$ uma função injetora. Se Y for finito então X também será. Além disso, o número de elementos de X não excede o de Y.

• Conjunto estudado no ensino médio
• Teoria dos conjuntos
• Bijetiva
• Teoria dos Conjuntos (em inglês)